Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
В основе метода Ньютона для системы уравнений лежит использование разложения функций Поскольку левые части этих выражений должны обращаться в нуль, то можно приравнять к нулю и правые части:
в матричном виде: Значения Определителем последней системы является якобиан:
Для существования единственного решения системы якобиан должен быть отличным от нуля на каждой итерации. Таким образом, итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений методом Ньютона состоит в определении приращений
В методе Ньютона также важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости. Сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы. Итак, за расчетную формулу примем
Сходимость метода. Теорема. Пусть в некоторой окрестности решения В качестве примера можно рассмотреть использование метода Ньютона для решения системы двух уравнений: Предположим, что якобиан системы при
Тогда значения
Вычислив значения
Величины, стоящие в правой части, вычисляются при Критерий окончания. Будем считать, что заданная точность достигнута, если Пример.Методом Ньютона решить систему двух уравнений:
Решение. 1) Начальные приближения можно определить графическим способом. Для этого перепишем систему в виде: Первое из преобразованных уравнений определяет эллипс, а второе – гиперболу. Данная система имеет два решения. Для уточнения выбирают одно из них, принадлежащее области За начальное приближение принимают 2) Находим
Поскольку Окончательный ответ: ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|