Метод итерации для нелинейной системы уравнений

Пусть требуется найти действительные решения системы двух уравнений с заданной точностью

Для этого перепишем исходную систему в приведенном (итерационном) виде: . Пусть и– начальные приближения корней, полученные графическим или каким-либо другим способом. Подставив эти значения в правые части приведенной системы уравнений, можно получить

Аналогично можно получить второе приближение

В общем случае Если функции и

непрерывны и последовательности и сходятся, то пределы их дают решение приведенной, следовательно, и исходной системы.

Сходимость метода

Теорема.Пусть в некоторой замкнутой окрестности имеется одно и только одно решение и приведенной системы.

Тогда если:

1) функции и определены и непрерывно дифференцируемы в ;

2) начальные приближения , и все последующие приближения , принадлежат ;

3) в выполнены неравенства или

неравенства ,то процесс последовательных приближений сходится к решению , .

Оценка погрешности -го приближения определяется неравенством:

где – наибольшее из чисел и , входящих в эти неравенства.

Сходимость метода считается хорошей, если ; при этом . Поэтому если в двух последовательных приближениях совпадают, например, три десятичных знака после запятой, то ошибка последнего приближения не превосходит 0,001.

Пример.Методом итерации решить систему с точностью до .

Решение.

1) Приведем систему к форме:

2) Для нахождения начального приближения отделим корни. Построив два графика и и найдя их точку пересечения, можно увидеть, что система имеет единственное решение, заключенное в области и .