 |
|
Метод наименьших квадратов
В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами 
, где 
– общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности.
Рис. 12
При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, многочлен), которая позволила бы «сгладить» экспериментальные погрешности, вычислить значения функции в точках, не содержащихся в исходной таблице.
Эта функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют критерийнаименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную зависимость 
, при которой 
обращается в минимум. Погрешность приближения оценивается величиной 
. В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен 
. Формула минимизируемой функции примет вид 
. Условия минимума 
можно записать, приравнивая нулю частные производные по всем переменным, 
.
Получим систему уравнений
или 
, 
.
Эту систему уравнений перепишем в следующем виде:
, .
Введем обозначения: 
. Последняя система может быть записана так: 
, .
Её можно переписать в развернутом виде:
.
Матричная запись системы имеет следующий вид: 
. Для определения коэффициентов 
, и, следовательно, искомого многочлена, необходимо вычислить суммы 
и решить последнюю систему уравнений. Матрица 
этой системы является симметричной и положительно определенной.
Погрешность приближения в соответствии с исходной формулой составит
. Рассмотрим частные случаи 
и 
.
Линейная аппроксимация 
.
.
; 
, 
.
Отсюда система для нахождения коэффициентов 
имеет вид:
.
Её можно решить методом Крамера.
Квадратичная аппроксимация 
.
.
.
.
, 
.
Или в развёрнутом виде
Решение системы уравнений находится по правилу Крамера.
Пример.Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения 
в точках 
, 
приведены в следующей таблице.
| |||||
|
| |||||
|
| -1 |
Вычислим коэффициенты 
по формулам для линейной и квадратичной аппроксимация 
; 
.
Для линейной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов 
и 
многочлена первой степени 
имеет вид:
.
Решая эту систему, получим:
.
.
Для квадратичной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов 
и 
многочлена второй степени имеет вид:
.
И коэффициенты равны:
. Тогда
.
Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл. 3.
Таблица 3
|
| |||||
|
| |||||
|
| -1 | ||||
| -1 | 0,7 | 2,4 | 4,1 | 5,8 |
| -1 | 0,62 | 2,24 | 6,9 |
Погрешность приближения в соответствии с исходными формулами составит:
.
.