Здавалка
Главная | Обратная связь

Многочлен Ньютона с конечными разностями



Рассмотрим случай равноотстоящих узлов интерполяции, т. е. – называется шагом.

Введем понятие конечных разностей. Пусть известны значения функции в узлах . Составим разности значений функции:

 

 

Эти разности называются разностями первого порядка.

Можно составить разности второго порядка:

.

 

Аналогично составляются разности k-го порядка:

.

 

Выразим конечные разности непосредственно через значение функции:

Таким образом, для любого k можно записать:

Запишем эту формулу для значений разности в узле :

.

Используя конечные разности, можно определить

.

Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в виде

.

График многочлена должен проходить через заданные узлы, то есть . Используем эти условия для нахождения коэффициентов многочлена:

Найдем отсюда коэффициенты :

Таким образом, для любого -го коэффициента формула примет вид

.

Подставляя эти формулы в выражение многочлена Ньютона, получим его следующий вид:

Полученную формулу можно записать в другом виде. Для этого введем переменную .

 

В этом случае

С учетом этих соотношений формулу многочлена Ньютона можно записать в виде

.

Полученное выражение может аппроксимировать данную функцию на всем отрезке изменения аргумента . Однако более целесообразно (с точки зрения повышения точности расчетов и уменьшения числа слагаемых в полученой формуле) ограничиться случаем , то есть использовать эту формулу для всех . Для других случаев вместо принять , если при . В этом случае интерполяционный многочлен можно записать в виде

Полученная формула называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции вперед. Эту интерполяционную формулу обычно используют для вычисления значений функции в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется следующим: разности вычисляются через значения функции , причем . Из-за этого при больших значениях мы не можем вычислить высших порядков .

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае , то есть , и интерполяционный многочлен Ньютона можно получить в виде:

.

Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом назад.

Пример. Используя интерполяционный полином Ньютона, вычислить , где функция задана таблицей

 

х 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
у 0,1002 0,2013 0,8045 0,4108 0,5211

Решение.Составляем таблицу конечных разностей.

х у
         
    0,1002        
0,1 0,1002   0,0009      
    0,1011   0,0012    
0,2 0,2013   0,0021   -0,0002  
    0,1032   0,0010   0,0001
0,3 0,3045   0,0031   -0,0001  
    0,1063   0,0009    
0,4 0,4108   0,0040      
    0,1103        
0,5 0,5211          

 

Для вычисления положим в интерполяционном многочлене Ньютона вперед тогда и

Пример. Задана таблица. Найти .

 

х
0,2588      
    0,0832    
0,3420   -0,026  
    0,0806   0,0006
0,4226   -0,032  
    0,0774   0,0006
0,5   0,038  
    0,0736    
0,5736      

 


При вычислении положим

.

При вычислении положим

.

Оценим погрешности формул Ньютона вперед и назад:

где и

где .

Формулы приближенного дифференцирования основаны на первой интерполяционной формуле Ньютона. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид

,

где

Производя перемножение биномов, получим

так как , то

.

Аналогично можно вычислять производные функции любого порядка.

В некоторых случаях требуется находить производные функций в основных табличных точках . Так как табличное значение можно считать за начальное, то положив , имеем

,

Для производной многочлена Ньютона первого порядка погрешность может быть вычислена по формуле ,

где – число конечных разностей в многочлене Ньютона.

Пример. Найти функции , заданной таблично.

Решение.

х у
1,6990      
    0,0414    
1,7404   -0,0036  
    0,0378   0,0005
1,7782   -0,0031  
    0,0347    
1,8129      

 

Здесь ; .

Вычисляя погрешность, получим:

.

 

Действительно, .

Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.