Метод скорейшего спуска решения нелинейных систем
Сущность метода скорейшего спуска заключается в том, что искомое решение системы
рассматривается как минимум некоторой функции
в
-мерном пространстве
, и этот минимум ищется в направлении, противоположном направлению градиента функции
, то есть в направлении скорейшего убывания этой функции. Фунция
связана с функциями
исходной системы соотношениями:
.
Пусть точка
является начальным приближением к искомому решению. Через эту точку проводится поверхность уровня
, а также нормаль к данной поверхности, которая указывает направление скорейшего убывания функции
. Точка, в которой нормаль касается новой поверхности уровня
, будет следующим приближением к исходному решению. Нормаль, проведенная к этой поверхности через точку
, даёт возможность дойти до точки
, в которой нормаль касается какой-то другой поверхности
, и т. д.
Так как
, где
то последовательность точек
,
,
… приведет к минимальному значению функции
, т. е. к искомому решению исходной системы.
Последовательные приближения определяются из матричного равенства
, где через
обозначен вектор в
-мерном пространстве, указывающий координаты точки
, т. е. значение
-го приближения;
– параметр, характеризующий изменение функции
вдоль соответствующей нормали,
– градиент функции
в точке
.
В общем случае параметр
может быть найден из уравнения:
, (1)
где
– скалярная функция, определяющая изменение функции
. При этом берется наименьший положительный корень уравнения (1).
Если считают
малой величиной и не учитывают членов, содержащих
во второй и высших степенях, то приближенно искомое решение можно найти из матричных равенств
,
,
, где
,
,
.
Важным достоинством метода скорейшего спуска является его неизбежная сходимость. Поэтому его рекомендуется применять для уточнения решения в тех случаях, когда другие итерационные методы расходятся.
Пример. Методом скорейшего спуска приближенно вычислить корни системы: 
Решение.Пусть
.
Здесь
и
.
Подставляя нулевое приближение, будем иметь
,
,
,
,
,

.
Вычислим
.
Аналогично найдем второе приближение 
.
Тогда
.
Для контроля вычислим невязку:
и так далее.
Получаем решение системы: 
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.