 |
|
Решение краевой задачи для линейного
дифференциального уравнения второго порядка
методом прогонки
Пусть на отрезке 
требуется найти решение дифференциального уравнения:
, (1)
удовлетворяющее следующим краевым условиям:
 ;
|
 ;
| ||
| 
|
Численное решение задачи состоит в нахождении приближенных значений 
искомого решения 
в точках 
. Для этого разобьем отрезок на 
равных частей с шагом 
. Полагая 
и вводя обозначения 
, 
, 
для внутренних точек 
отрезка , вместо дифференциального уравнения (1)–(2) получаем систему конечноразностных уравнений:
После соответствующих преобразований будем иметь
, 
, (3)
где
.
Полученная система имеет 
линейных уравнений с неизвестными. Решим эту систему методом прогонки.
Решая уравнение (3) относительно 
, будем иметь
.
Предположим, что из этого уравнения исключена неизвестная 
. Тогда это уравнение примет вид
, (4)
где 
– некоторые коэффициенты.
Отсюда 
. Подставляя это выражение в (3), получим 
и, следовательно,
. (5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим для определения 
рекуррентные формулы:
.
Определим 
:
.
Из формулы (4) при 
имеем
. (6)
Поэтому
, 
. (7)
На основании формул (6) и (7) последовательно определяются коэффициенты 
до 
включительно (прямой ход). Обратный ход начинается с определения 
. Решая систему
,
получим
и по формуле (4) последовательно находим 
.
Для простейших краевых условий 
формулы для 
упрощаются. Полагая 
получим 
.
Отсюда 
.
Пример. Методом прогонки решить краевую задачу:
.
Решение. Пусть 
.
;
;
; 
;
.
Найденные значения 
записываем в первых двух строках таблицы. Используя известное значение 
, вычислим 
и запишем в таблицу. Для значения в последней строке даны значения точного решения 
.
Таблица 10
| ||||||
| -0,498 | -0,662 | -0,878 | -0,890 | -0,900 | |
| 0,001 | 0,002 | 0,004 | 0,008 | 0,012 | |
| 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | |
| -0,025 | -0,049 | -0,072 | -0,078 | -0,081 | |
| -0,015 | -0,029 | -0,041 | -0,050 | -0,057 |
|
| |||||
|
| -0,908 | -0,915 | -0,921 | -0,926 | |
|
| 0,16 | 0,022 | 0,028 | 0,035 | |
|
| 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | |
|
| -0,078 | -0,070 | -0,055 | -0,032 | |
|
| -0,058 | -0,054 | -0,044 | -0,026 |
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Решить уравнение методом половинного деления, хорд с точностью 
.
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
2. Решить уравнение методом Ньютона и итерации с точностью .
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
3. Решить уравнение методом хорд и касательных и видоизменённым Ньютона с точностью .
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
4. Решить систему 
методом простой итерации с точностью .
| С | d | С | d | ||
| 
| 
|
| ||
|
| 
| 
| ||
|
| 
| 
| ||
|
| 
|
| ||
|
| 
| 
| ||
| 
| 
|
| ||
| 
| 
|
|
5. Решить систему 
методом Зейделя с точностью .
| А | b | A | b | ||
| 
| 
| 
| ||
|
| 
| 
| ||
| 
| 
|
| ||
|
| 
|
| ||
| 
| 
| 
| ||
|
| 
| 
| ||
| 
| 
| 
|
6. Решить систему методом простой итерации с точностью .
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
7. Решить систему методом Ньютона с точностью .
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
8. По заданным значениям 
и 
найти прямую 
и параболу 
методом наименьших квадратов. Найти погрешность. Построить прямую и кривую в той же системе координат, где нанесены данные точки.
 |
 |
9. 1) Заданы значения функции
в узлах 
, получающиеся делением отрезка 
на 5 частей. Найти значения функции при 
и 
с помощью интерполяционных формул Ньютона.
|
| ||||||||||||||
| 0,1 | 1,0 | 1,1 | 0,9 | 0,9 | 0,8 | 1,1 | 1,0 | 1,2 | 1,2 | 1,1 | 0,8 | 0,8 | 0,8 | 1,1 |
| 1,2 | 2,1 | 2,2 | 2,0 | 1,9 | 2,0 | 2,2 | 2,1 | 1,8 | 2,0 | 1,9 | 2,0 | 2,2 | 1,8 | 2,2 |
| 1,4 | 2,9 | 3,2 | 3,0 | 3,2 | 2,9 | 3,2 | 3,1 | 3,2 | 3,0 | 3,2 | 2,8 | 2,9 | 2,9 | 3,0 |
| 1,6 | 3,8 | 4,2 | 3,8 | 3,8 | 4,2 | 4,2 | 3,8 | 4,1 | 3,8 | 3,8 | 4,0 | 4,0 | 4,0 | 4,1 |
| 1,8 | 5,2 | 5,2 | 5,1 | 5,1 | 5,2 | 5,1 | 5,2 | 5,2 | 5,0 | 4,9 | 5,2 | 5,2 | 4,9 | 4,9 |
| 2,0 | 5,9 | 6,0 | 5,8 | 6,1 | 5,8 | 5,9 | 6,2 | 6,1 | 6,1 | 5,8 | 6,0 | 5,8 | 6,1 | 5,9 |
2) Заданы значения 
функции в точках . Найти значение функции при 
. Задачу решить с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 
| 
|
|
|
|
| |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Решить краевую задачу методом прогонки.
| № | Дифференциальное уравнение | Краевые условия | 
| 
|
| 
| 
| ||
| 
|
| ||
| 
| 
| ||
| 
|
| ||
| 
|
| ||
| 
| 
| ||
| 
|
| ||
| 
|
| ||
| 
|
| ||
| 
|
| ||
| 
| 
| ||
| 
|
| ||
| 
|
| ||
| 
|
|
11. Решить задачу Коши методом Эйлера и Рунге – Кутта.
| № | Дифференциальное уравнение | Начальное условие | 
|
|
| 
| 
| ||
| 
|
| ||
| 
|
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||
|
| 
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||
|
|
|
12. Решить системы нелинейных уравнений методом скорейшего спуска.
| № | ||
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
13. Решить задачу Коши модифицированными методами Эйлера.
| № | Дифференциальное уравнение | Начальное условие |
| № |
| 
| 
| ||
| 
|
| ||
|
|
| ||
| 
|
| ||
| 
| 
| ||
| 
|
| ||
| 
|
| ||
|
|
| ||
|
|
| ||
| 
| 
| ||
| 
|
| ||
| 
|
| ||
|
|
| ||
|
|
|
14. Найти собственные значения матрицы: 
.
 = 3;
|  = 7;
| = 6;
| = 7;
| ||
| = 5;
| = 3;
| = 6;
| = -7;
| ||
| = 3;
| = 8;
| = 7;
| = -5;
| ||
| = -3;
| = 5;
| = 5;
| = 9;
| ||
| = 7;
| = 6;
| = 9;
| = 3;
| ||
| = -3;
| = -5;
| = 8;
| = 5;
| ||
| = 5;
| = -8;
| = -6;
| = -8.
|
15. Вычислить определённый интеграл с точностью 
методом Симпсона.
| № | интеграл |
| № | интеграл |
|
| 0,001 | 
| 0,0001 | ||
| 0,0001 | 
| 0,01 | ||
| 0,01 | 
| 0,001 | ||
| 0,001 | 
| 0,01 | ||
| 0,0001 | 
| 0,0001 | ||
| 0,01 | 
| 0,01 | ||
| 0,001 | 
| 0,0001 |