 |
|
Вычисление собственных значений матрицы Методом Данилевского
Сущность метода Данилевского заключается в том, что исходная матрица А:
после 
преобразования подобия приводится к матрице Фробениуса Р:
,
то есть 
, где 
– неособенная матрица. Так как подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими полиномами, то имеем:
.
Вначале нужно строку 
привести в строку 
. Предполагая, что 
, разделим все элементы 
– го столбца матрицы А на 
. Тогда её 
-ая строка примет вид
.
Затем вычтем - й столбец преобразованной матрицы, умноженный соответственно на числа 
, из всех остальных ее столбцов.
В результате получим матрицу, последняя строка которой имеет желаемый вид 0 0 … 1 0.
Произведя те же операции над единичной матрицей, получим матрицу
,
где 
при 
. (1)
. (1')
Эти операции равносильны умножению справа матрицы 
на матрицу А.
, (2)
где 
при 
,
при 
. (2')
Для подобия матриц нужно умножить полученную матрицу на 
слева: 
.
Очевидно, обратная матрица имеет вид
.
Обозначим 
, то есть
,
где 
(3)
при 
, (3')
то есть полученная матрица С подобна матрице А.
Продолжая этот процесс, получим матрицу Фробениуса.
,
если все промежуточных преобразований возможны.
Пример. Привести к виду Фробениуса матрицу:
.
Решение.Вычисления будем располагать в таблице 4. В строках 1–4 помещаем элементы 
данной матрицы и контрольные суммы 
в 
. Элемент 
. В строке I записываем элементы третьей строки матрицы 
, вычисляемые по формулам (1), (1'):
, 
,
, 
.
Сюда же помещаем элемент 
. Число -3,375 должно совпасть с элементами строки I , не входящими в контрольный столбец (после замены элемента 
на -1).
В строках 5–8 в графе 
выписываем третью строку матрицы , которая совпадает с четвертой строкой исходной матрицы А. В строках 5–8 в соответствующих столбцах выписываем элементы матрицы 
, вычисляемые по формулам (2), (2'):
Преобразованные элементы третьего столбца получаются с помощью умножения исходных элементов на 
. Например,
Таблица 4
| Номер строки | 
| Столбцы матрицы | Σ | Σ/ | |||
 8
| |||||||
| I | 
 
| -1 | -0,875 |
 0,125
-1
| -0,5 | -3,375 | |
| -1 | 1,25 | 0,25 | 3,5 | 3,25 | |||
| 5,5 | 0,5 | -1 | 6,0 | 5,5 11,25 | |||
| 1,25 | 0,25 |  11,5
| ||||
| 7/ | 
58,5
| 11,5 | |||||
| II | 
 
| -0,67 | 0,017 -1 | -0,127 | -0,97 | -2,83 | |
| -1,8333 | 0,021 | 0,004 | 1,782 | -0,026 | -0,047 | ||
 10
| 58,5 | -2,666 | 0,094 | -0,5811 | -6,3589 | -9,512 | -9,606 |
| 11,5 | |||||||
| 10/ |  -227,4597
| 17,818 | 23,16165 | -302,4 | -488,966 | ||
| III | 
 
| 0,0044 | 0,0783 | 0,1 | -1,3298 | -2,14 | |
| -227,45 | 0,008 | -0,1226 | -0,1827 | 4,22 | 3,9228 | 3,91148 |
| 17,818 | |||||||
| 23,16165 | |||||||
| -302,497 | |||||||
| -261 | -960 |
Соответственно, последняя строка матрицы В имеет вид (0 0 1 0). Для контроля пополним матрицу В преобразованными по аналогии элементами:
Полученные результаты записываем в столбце Σ/ . Прибавив к ним элементы третьего столбца, будем иметь контрольные суммы:
для строк 5–8 (столбец Σ) .
Преобразование 
, произведенное над матрицей В и дающее матрицу 
, изменяет лишь третью строку матрицы В, то есть седьмую строку таблицы. Элементы строки 
получаются по формулам (3), ( 
) . Например:
.
Те же преобразования проводим над столбцом Σ:
.
В результате получаем матрицу С, состоящую из строк 5, 6, 
, 8 с контрольными суммами Σ. Далее, приняв матрицу С за исходную и выделив элемент 
, продолжим процесс аналогичным образом.
Таким образом, матрица Фробениуса имеет вид
Отсюда, решая уравнение 
, найдем собственные значения исходной матрицы.
6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
МЕТОД СИМПСОНА (МЕТОД ПАРАБОЛ)
Заменим график функции 
на отрезке 
, 
, 
, параболой, проведенной через точки 
, 
, где 
– середина отрезка . Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени 
с узлами 
. Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:
,
где 
.
Проинтегрировав эту функцию на отрезке , получим
.
Суммируя полученные выражение по 
, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):
.
Оценка погрешности.Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.
Теорема.Пусть функция 
имеет на отрезке 
непрерывную производную четвертого порядка 
. Тогда для формулы Симпсона справедлива следующая оценка погрешности: 
, где
.
Замечание.Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок , четно, т.е. 
, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка длины 
рассматривать отрезок 
длины 
. Тогда формула Симпсона примет вид: 
, а вместо последней оценки будет справедлива следующая оценка погрешности:
.