Главная | Обратная связь

Первісна функції комплексної змінної.

Інтегральна теорема Коші

Якщо крива лежить в області аналітичності функції , то комплексний інтеграл не залежить від форми шляху інтегрування, а тільки від початкової та кінцевої точок. Це пояснюється тим, що для аналі­тич­ної функції виконуються умови Коші–Рімана і , які співпадають з умовами незалежності від шляху інтегрування обох відповідних дійсних криволінійних інтегралів і .

Таким чином, інтеграл аналітичної функції можна подати у вигляді .

Якщо зафіксувати нижню межу інтегрування, то одер­жа­ний інтеграл , як функція верхньої межі, слу­жить первісною для :

.

Множина всіх первісних для даної функції утворює відповідний невизначений інтеграл.

Для інтеграла аналітичної функції справджується формула Ньютона – Лейбніца

,

де – довільна первісна.

Зауваження. Таблиця інтегралів аналогічна відповідній таб­лиці для функцій дійсного аргументу, але підлогарифмові ви­рази не містять модулю.

Приклад. Користуючись таблицею інтегралів, обчислити за­даний інтеграл аналітичної функції:

.

Розв’язання.

.

Умови незалежності криволінійного інтеграла від форми шляху інтегрування еквівалентні рівності нулю цього інтеграла по довільному замкненому контуру , що лежить в даній однозв’язній області

.

Аналогічне твердження справедливе для комплексного інтеграла аналітичної функції.

Теорема (інтегральна теорема Коші для однозв’язної області). Якщо функція аналітична в однозв’язній області , що обмежена кусково-гладким контуром і неперервна в замкненій об­ласті , то інтеграл функції по контуру дорівнює нулю

.

Теорема Коші поширюється на багатозв’язну область (рис. 23): якщо функція аналітична в багатозв’язній об­ласті , що обмежена зовнішнім контуром і внутрішніми контурами , і неперервна в замкненій області , то інтеграл функції по повній межі області в додатному напрямі дорівнює нулю

.

 

Іншими словами, для складеного контуру справедливо: інтеграл функції по зовнішньому контуру дорівнює сумі інтегралів по всіх внутрішніх контурах при умові, що обіг усіх контурів здійснюється проти годинникової стрілки

.

При доведенні багатозв’язна область перетворюється в однозв’язну область за допомогою розрізів , що з’єд­нують внутрішні контури із зовнішнім (рис. 23). Кожна лінія роз­різу проходиться двічі в протилежних напрямах, тому ін­тег­рали по ній при додаванні взаємно знищуються.

5.3. Інтегральна формула Коші та її наслідки

Інтегральна теорема Коші відкриває можливість визначення значень аналітичної функції всередині області через її значення на межі цієї області.

Нехай функція аналітична в однозв’язній області , що обмежена кусково-гладким контуром і неперервна в замкненій об­ласті (рис. 24). Для довільної фіксованої внутріш­ньої точки області допоміжна функція є аналі­тичною в цій області, крім хіба що точки . Обведемо точ­ку колом з центром у цій точці та радіусом таким, що все коло лежить всередині області . Тоді допоміжна функція буде аналітичною у двозв’язній області між контурами і . За теоремою Коші

; .

Тоді

.

Із неперервності підінтегральної функції випливає, що останній інтеграл прямує до нуля при і при стає рівним нулю. Дістаємо інтегральну формулу Коші (інтеграл Коші)

.

Зауваження 1. У випадку багатозв’язної області інтегрування треба проводити по повній межі у додатному напрямі.

Зауваження 2. Оскільки – довільна точка області аналі­тич­ності, то індекс можна опустити, а межові точки позначити через . Тоді формула Коші (інтеграл Коші) набуває вигляду

.

Інтеграл Коші виражає значення аналітичної функції в довільній точці через її значення на довіль­ному контурі , що лежить в області аналітичності функції і містить точку всередині. В цей інтеграл змінна входить як параметр.

Наслідок 1.

Зауваження 3. Нехай функція – аналітична в області з межею і неперервна в замкненій об­ласті . Нехай – довільна точка межі . Тоді в силу неперервності функції до самої межі з наслідку 1 випливає:

; .

Таким чином, на межі області функція має стрибок, що дорівнює – значенню цієї функції на межі.

Наслідок 2. Нехай функція – аналітична в області з межею і – довільна внутрішня точка цієї області. Тоді функція нескінченно разів диференційовна, причому

; .

Ці співвідношення одержуються диференціюванням інтеграла Коші, де похідна по параметру береться від підінтегральної функції.

Теорема і формула Коші знаходять широке застосування при обчисленні інтегралів по замкнутих контурах.

Приклад. Обчислити інтеграл по вказаному замкненому контуру :

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. Підінтегральна функція всю­ди аналітична за винятком двох особливих точок і .

 

а) Особлива точка не входить всередину області , обмеже­ної контуром (рис. 25). У підінтегральному ви­разі виділимо функцію , що аналітична в області . Тоді для обчислення інтеграла можна скористатися формулою Коші для першої похідної:

.

б) Обидві особливі точки і не входять всередину області , обмеже­ної контуром (рис. 26). Підінтегральна функція аналітична в цій області, тоді за теоремою Коші

.

в) Обидві особливі точки і входять всередину області , обмеже­ної контуром (рис. 27). Побудуємо кола і з центрами відповідно в точках і достатньо малих радіусів так, щоб вони не перетинались ні з контуром , ні між собою. У тризв’язній області, обмеженій ззовні контуром , а зсередини – колами і , під­інтегральна функція аналітична. За теоремою Коші для складеного контуру

,

де обхід всіх контурів здійснюється проти годинникової стрілки.

У підінтегральному ви­разі першого доданка виділимо фун­кцію , що аналітична в області, обмеженій контуром . Тоді за формулою Коші:

.

Другий доданок не залежить від вибору контуру , що охоплює тільки одну особливу точку , то­му його значення співпадає з обчисленим в пункті а). Отже,

.

Таким чином,

.

 

 

6. Ряди функцій комплексної змінної