Обчислення інтегралів за допомогою лишків

Обчислення комплексних інтегралів по замкненому контуру. За допомогою лишків можна обчислювати інтеграли по замкненому контуру від однозначних функцій, що не містять особливостей на контурі, або від однозначних гілок багатозначних функцій, якщо всередині контуру відсутні точки розгалуження.

Приклад 1. Обчислити комплексний інтеграл

де а) ; б) .

Розв’язання.

Підінтегральна функція має три особливі точки (самостійно переконайтеся в цьому і дослідіть їх характер): – полюс третього порядку, – простий полюс, – істотно особлива точка ((рис. 32).

а) Усередині кола розміщена тільки одна особлива точка – полюс третього порядку. За основною теоремою про лишки

;

б) Перший спосіб. Усередині кола розміщені дві особливі точки – полюс третього порядку і – простий полюс. За основною теоремою про лишки

;

Другий спосіб. Зовні кола розміщена тільки одна особлива точка – істотно особлива. За наслідком 2 із основної теореми про лишки

Розвинемо підінтегральну функцію в ряд Лорана:

;

Звідси

; .

Тоді

Обчислення дійсних інтегралів за допомогою переходу до комплексних інтегралів. Звичайно, контур інтегрування вибирають так, щоб інтеграл по деякій частині контуру при необмеженому його розширенні перетворювався в заданий дійсний інтеграл, а інтеграл по частині, що залишилася, прямував до нуля.

Лема (лема Жордана). Нехай – додатне число і – півколо , що лежить в області – верхній півплощині (рис. 33). Якщо функція – аналітична в області за винятком скінченного числа ізольованих особливих точок і прямує до нуля в цій області, коли , тоді

Наслідок. Нехай функція дійсної змінної неперервна на всій дійсній осі , а відповідна функція комплексної змінної задовольняє лемі Жордана, тоді

Приклад 2. Обчислити дійсний невласний інтеграл

Розв’язання. Підінтегральна функція неперервна на дійсній осі, а відповідна комплексна функція аналітична у верхній півплощині за винятком однієї особливої точки – полюса другого порядку. Крім того, при . Знайдемо лишок: