Для конечномерных линейных пространств
Наряду со следствиями из основной теоремы о линейной зависимости 1–4, из этой теоремы можно получить еще несколько важных утверждений. Следствие 5. Любые два базиса конечномерного линейного пространства состоят из одинакового числа векторов. Это утверждение – частный случай следствия 2 из основной теоремы о линейной зависимости, примененного ко всему линейному пространству. Определение 8. Число векторов в произвольном базисе конечномерного линейного пространства L называют размерностью этого пространства и обозначают dim L. В силу следствия 5 всякое конечномерное линейное пространство имеет единственную размерность. Определение 9. Если линейное пространство L имеет размерность n, то его называют n-мерным линейным пространством. Примеры: 1. dim R1=1; 2. dimR2=2; 3. dimP(n)=n, т.е. P(n) – n–мерное линейное пространство, т.к. выше, в примере 2 показано, что (1) – базис P(n); 4. dimPn[x]=(n+1), ибо, как нетрудно проверить, 1,x,x2,…,xn - базис из n+1 векторов этого пространства; 5. dimMn(P)=n2, ибо матриц вида Eij, указанных в примере 4, ровно n2. Следствие 6. В n-мерном линейном пространстве L любые n+1 векторов a1,a2,…,an+1 (3) составляют линейно зависимую систему. Доказательство. По определению размерности пространства в L существует базис из n векторов: e1,e2,…,en (4). Рассмотрим пару систем (3) и (4). Предположим, что (3) линейно независима. Т.к. (4) – базис L, то любой вектор пространства L линейно выражается через (4) (по теореме 3 из §3). В частности, система (3) линейно выражается через (4). По предположению (3) линейно независима; тогда к паре систем (3) и (4) можно применить основную теорему о линейной зависимости. Получаем: n+1£n, что невозможно. Противоречие доказывает, что (3) линейно зависима. Следствие доказано. Замечание 1. Из следствия 6 и теоремы 2 из §2 получаем, что в n-мерном линейном пространстве любая конечная система векторов, содержащая больше n векторов, линейно зависима. Из этого замечания вытекает Следствие 7. В n-мерном линейном пространстве любая линейно независимая система содержит не более n векторов. Замечание 2. С помощью этого утверждения можно установить, что некоторые линейные пространства не являются конечномерными. Пример. Рассмотрим пространство многочленов P[x] и докажем, что оно не является конечномерным. Предположим, что dim P[x]=m, mÎN. Рассмотрим 1, x,…, xm – множество из (m+1) векторов из P[x]. Эта система векторов, как отмечено выше, линейно независима, что противоречит предположению, что размерность P[x] равна m. Нетрудно проверить (используя P[x]), что конечномерными линейными пространствами не являются пространства всех функций действительной переменной, пространства непрерывных функций и т.д. Следствие 8. Любую конечную линейно независимую систему векторов a1, a2,…,ak (5) конечномерного линейного пространства L можно дополнить до базиса этого пространства. Доказательство. Пусть n=dim L. Рассмотрим два возможных случая. 1. Если k=n, тогда a1, a2,…,ak – линейно независимая система из n векторов. В силу следствия 7, для любого bÎL система a1, a2,…,ak, b линейно зависима, т.е. (5) – базис L. 2. Пусть k<n. Тогда система (5) не является базисом L, а значит, существует вектор ak+1ÎL, что a1, a2,…,ak, ak+1 (6) - линейно независимая система. Если (k+1)<n, то также приписываем ak+2, и так далее. В силу следствия 7 этот процесс заканчивается через конечное число шагов. Получаем базис a1, a2,…,ak, ak+1,…,an линейного пространства L, содержащий (5). Следствие доказано. Из следствия 8 вытекает Следствие 9. Любой ненулевой вектор конечномерного линейного пространства L содержится в некотором базисе L (т.к. такой вектор является линейно независимой системой). Отсюда следует, если Р – бесконечное поле, то в конечномерном линейном пространстве над полем Р существует бесконечно много базисов (т.к. в L бесконечно много векторов вида aa, a¹0, aÎP\0). ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|