Главная | Обратная связь

Поле разложения многочлена

В теории многочленов важную роль играет следующая

Теорема существования корня.Для любого многочлена f(x)ÎP[x]\P существует такое расширение S поля P, в котором f(x) имеет хотя бы один корень.

Эту теорему мы приводим без доказательства. Ее доказательство можно найти в [1]. Мы докажем ее важные следствия.

Следствие 1. Всякий многочлен ненулевой степени n из P[x] в некотором расширении S поля P имеет ровно n корней (каждый корень считается столько раз, какова его кратность).

Доказательство.По основной теореме $ P₁ÉP, что в P₁ многочлен f(x) имеет хотя бы один корень, т.е. $ с₁ÎP₁, что f(c₁) = 0 .

Тогда f(x)=(x-c₁)f₁(x) , где f₁(x)ÎP₁[x]. Если f₁(x)=aÎP₁ , то S=P₁.

Если же deg f₁(x)¹0 , то $ P₂ÉP₁, в котором f₁(x) имеет корень c₂ ,т.е. $ с₂ÎP₂, что f₁(c₂) = 0. Тогда f(x)=(x-c₁)(x-c₂)f₂(x), где f₂(x)ÎP₂[x]. и т.д.

Через конечное число шагов над полем S получим:

f(x)=(x-c₁)(x-c₂)…(x-c_n)a_{0 .} (4)

Значит, f(x) имеет в некотором расширении поля P n корней.

Следствие доказано.

Определение 1. Расширение S поля P, в котором многочлен f(x)ÎP[x] степени n имеет все n корней (с учетом кратностей) называют полем разложения этого многочлена.

Из следствия 1 получаем

Следствие 2. Для любого f(x)ÎP[x]\P существует поле разложения.

Доказательство. Если в разложении (4) над полем S собрать все одинаковые множители, получим

, (5)

где все с_i различны и k_i - кратность корня с_i ( ).

Далее , если c¹c_i , то

,т.е. с₁,c₂,…,c_s – все различные корни f(x). Так как k₁+…k_s=deg f(x), то в силу следствия теоремы 1 S – поле разложения f(x).

Следствие доказано.

Так как больше, чем n корней, многочлен f(x) n-ой степени иметь не может (в силу следствия теоремы 1), то из (4) получаем:

Следствие 3. Разложение (4) для многочлена f(x) над любым его полем разложения единственно (с точностью до обозначений).

Из следствий 2 и 3 вытекает

Теорема 4. Всякий многочлен f(x)ÎP[x]\P над полем разложения представим в виде (5), где с_i¹c_j при i¹j и k_i – кратность корня с_i; это представление единственно (с точностью до порядка сомножителей).

Определение 2. Разложение (5) называется каноническим разложением f(x).

Мы показали, что такое разложение имеет место над полем разложения.

Замечание 2. Аналогичное (5) каноническое разложение целого числа имеет вид:

z=(±1) , где p_i – различные простые числа (i=1,…,s).

Формулы Виета

Пусть дан многочлен f(x) степени п со старшим коэффициентом 1,

f(x) = xⁿ +c₁x^n-1+…+ c_n-1x¹ +c_n . (1)

В некотором поле разложения содержатся все его корни

a₁,…,a_n-1,a_n . Тогда f(x) обладает следую­щим разложением:

f(x) = (x-a₁)(x-a₂) ... (x-а_n).

Перемножая скобки, стоящие справа, а затем приводя подобные члены и приравнивая полученные коэффициенты соответствующим коэффициентам из (1), мы получим следующие равенства, называемые формулами Виета и выражающие коэффициенты многочлена через его корни:

c₁= -( a₁+…+a_n-1+a_n ) ,

c₂= a₁a₂+a₁a₃+… a₁a_n+a₂ a₃+…+a_n-1a_n ,

c₃= -(a₁a₂a₃+a₁a₂a₄+…a_n-2a_n-1a_n),

…………………………………,

c_n-1= (-1) ^n-1(a₁a_2…a_n-1+a₁a_2…a_n-2a_n+… +a₂a₃ ... a_n),

c_n= (-1) ⁿ(a₁a_2…a_n-1a_n).

Таким образом, в правой части k-ro равенства стоит сумма всевозможных произведений по k корней, взятая со знаком плюс или минус, в зависимости от четности или нечетности k. При n=2 эти формулы превращаются в известную из элемен­тарной алгебры связь между корнями и коэффициентами квадратного многочлена.