Главная | Обратная связь

Максимальные линейно независимые подсистемы

Определение 3. Пусть a₁, a₂,…,a_k,…. (1)– конечная или бесконечная система векторов линейного пространства L. Ее конечная подсистема a_i1, a_i2, …, a_ir (2) называется базисом системы (1) или максимальной линейно независимой подсистемой этой системы, если выполняются следующие два условия:

1) подсистема (2) линейно независима;

2) если к подсистеме (2) приписать любой вектор а_j системы (1), то получаем линейно зависимую систему a_i1, a_i2, …, a_ir, a_j (3).

Пример 1. В пространстве Р_n[x] рассмотрим систему многочленов 1,x¹, …, xⁿ (4). Докажем, что (4) линейно независима. Пусть α₀, α₁,…, α_n – такие числа из Р, что α₀1+α₁x+...+α_nxⁿ=0. Тогда по определению равенства многочленов α₀=α₁=…=α_n=0. Значит, система многочленов (4) линейно независима.

Докажем теперь, что система (4) – базис линейного пространства P_n[x].

Для любого f(x)ÎP_n[x] имеем: f(x)=β₀xⁿ+…+β_n×1ÎP_n[x]; следовательно, f(x) является линейной комбинацией векторов (4); тогда система 1,x¹, …, xⁿ,f(x) линейно зависима (по определению I). Таким образом, (4) – базис линейного пространства P_n[x].

Пример 2. На рис. 1 a₁, a₃ и a₂, a₃ – базисы системы векторов a₁,a₂,a₃.

Теорема 3. Подсистема (2) a_i1,…, a_ir конечной или бесконечной системы (1) a₁, a₂,…,a_s,… является максимальной линейно независимой подсистемой (базисом) системы (1) тогда и только тогда, когда

а) (2) линейно независима;

б) любой вектор из (1) линейно выражается через (2).

Необходимость.Пусть (2) – максимальная линейно независимая подсистема системы (1). Тогда выполняются два условия из определения 3:

1) (2) линейно независима.

2) Для любого вектора a_j из (1) система a_i1,…, a_is,a_j (5) линейно зависима.

Надо доказать, что выполняются утверждения а) и б).

Условие а) совпадает с 1); следовательно, а) выполняется.

Далее, в силу 2) существует ненулевой набор α₁,...,α_r,βÎP (6) такой, что α₁a_i1+…+α_ra_ir+βa_j=0 (7). Докажем, что β¹0 (8). Предположим, что β=0 (9). Тогда из (7) получаем: α₁a_i1+…+α_ra_ir=0 (10). Из того, что набор (6) ненулевой, а β=0 следует, что α₁,...,α_r - ненулевой набор. А тогда из (10) вытекает, что (2) линейно зависима, что противоречит условию а). Этим доказано (8).

Прибавив к обеим частям равенств (7) вектор (-βa_j), получим: -βa_j= α₁a_i1+…+α_ra_ir. Так как β¹0, то существует β^-1ÎР; умножим обе части последнего равенства на β^-1: (β^-1α₁)a_i1+…+ (β^-1α_r)a_ir=a_j. Введем обозначения: (β^-1α₁)=g₁,…, (β^-1α_r)=g_r; таким образом, мы получили: g₁a_i1+…+ g_r a_ir=a_j; следовательно, доказана выполнимость условия б).

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть выполняются условия а) и б) из теоремы 3. Нужно доказать, что выполняются условия 1) и 2) из определения 3.

Так как условие а) совпадает с условием 1), то 1) выполняется.

Докажем, что выполняется 2). По условию б), любой вектор a_jÎ(1) линейно выражается через (2). Следовательно, (5) линейно зависима (по определению 1), т.е. 2) выполняется.

Теорема доказана.

Замечание. Не в любом линейном пространстве существует базис. Например, нет базиса в пространстве Р[x] (в противном случае, степени всех многочленов из Р[x] были бы, как следует из пункта б) теоремы 3, ограничены в совокупности).

Основная теорема о линейной зависимости.

Ее следствия

Определение 4.Пусть даны две конечные системы векторов линейного пространства L:a₁,a₂,…,a_l (1) и b₁,b₂,…,b_s (2).

Если каждый вектор системы (1) линейно выражается через (2), то будем говорить, что система (1) линейно выражается через (2).

Примеры:

1. Любая подсистема системы a₁,…,a_i,…,a_k линейно выражается через всю систему, т.к. a_i=0×a₁+…+1×a_i+…+0×a_k.

2. Любая система векторов-отрезков из R₂ линейно выражается через систему, состоящую из двух неколлинеарных векторов плоскости.

Определение 5.Если две конечные системы векторов линейно выражаются друг через друга, то они называются эквивалентными.

Замечание 1. Число векторов в двух эквивалентных системах может быть разным, что видно из следующих примеров.

Примеры:

3. Каждая система эквивалентна своему базису (это следует из теоремы 3 и примера 1).

4. Любые две системы векторов-отрезков из R₂, в каждой из которых есть два неколлинеарных вектора, эквивалентны.

Следующая теорема является одним из важнейших утверждений теории линейных пространств.

Основная теорема о линейной зависимости. Пусть в линейном пространстве L над полем P заданы две системы векторов:

a₁,a₂,…,a_l (1) и b₁,b₂,…,b_s (2), причем (1) линейно независима и линейно выражается через (2). Тогда l£s (3).

Доказательство. Нам надо доказать неравенство (3). Предположим противное, пусть l>s (4).

По условию каждый вектор a_i из (1) линейно выражается через систему (2):

a₁=α₁₁b₁+α₁₂b₂+…+α_1sb_s

a₂=α₂₁b₁+a₂₂b₂+…+α_2sb_s

…………………... (5)

a_l=α_l1b₁+α_l2b₂+…+α_lsb_s.

 

Составим следующее уравнение: x₁a₁+x₂a₂+…+x₁a_l=0 (6), где x_i— неизвестные, принимающие значения из поля Р (i=1,…,s).

Умножим каждое из равенств (5), соответственно на x₁,x₂,…,x_l, подставим в (6) и соберем вместе слагаемые, содержащие b₁, затем b₂ и, наконец, b_s. Получим:

x₁a₁+…+x_la_l = (α₁₁x₁+α₂₁x₂+ … +α_l1x_l)b₁ + (α₁₂x₁+α₂₂x₂+ … +α_l2x_l)b₂ + …+(α_1sx₁+α_2sx₂+…+α_lsx_l)b_s=0. (7)

Постараемся найти ненулевое решение уравнения (6). Для этого приравняем в (7) к нулю все коэффициенты при b_i (i=1, 2,…,s) и составим следующую систему уравнений:

α₁₁x₁+α₂₁x₂+ … +α_l1x_l=0

α₁₂x₁+α₂₂x₂+…+α_l2x_l=0 (8)

…………………….

α_1sx₁+α_2sx₂+…+α_lsx_l=0.

 

(8) - однородная система s уравнений относительно неизвестных x₁,…,x_l. Она всегда совместна.

В силу неравенства (4) в этой системе число неизвестных больше числа уравнений, и потому, как следует из метода Гаусса, она приводится к трапецеидальному виду. Значит, существуют ненулевые решения системы (8). Обозначим одно из них через x₁⁰,x₂⁰,…,x_l⁰ (9),x_i⁰ÎP (i=1, 2,…s).

Подставив числа (9) в левую часть (7), получим:

x₁⁰a₁+x₂⁰a₂+…+x_l⁰a_l=0×b₁+0×b₂+…+0×b_s=0. (10)

Итак, (9) – ненулевое решение уравнения (6). Поэтому система (1) линейно зависима,а это противоречит условию. Следовательно, наше предположение (4) неверно и l£s.

Теорема доказана.