Здавалка
Главная | Обратная связь

Неприводимые и приводимые



Многочлены над полями C и R

 

Ниже мы введем понятие многочленов, играющих в теории многочленов ту же роль, что простые числа играют в теории целых чисел.

Простое число нельзя разложить в произведение двух множителей, меньших по модулю. Аналогично определяются неприводимые многочлены, только вместо модулей рассматриваются степени многочленов.

Определение 1.Многочлен (где P – произвольное поле) называют приводимым над полем P, если он представим в виде (1), где , (2), причем , . В противном случае называется неприводимым над полем P.

Из определения видно, что элементы поля P мы не относим ни к приводимым, ни к неприводимым многочленам (аналогично числа – ни простые, ни составные).

Замечание 1. Другими словами, многочлен , не содержащийся в поле P, называется неприводимым над P, если в любом его разложении вида (1) с условием (2) степень хотя бы одного из множителей – нулевая (а степень второго равна степени ). Неприводимый многочлен над P нельзя разложить в произведение двух множителей из степеней, меньших, чем степень .

Пример. Многочлен над полем R неприводим, а над С – приводим, ибо , где .

Замечание 2. Если многочлен приводим над P, то при расширении поля P, он, очевидно, остается приводимым.

С другой стороны, как показывает приведенный выше пример, неприводимый многочлен над P при расширении поля до может стать приводимым над .

Лемма 1. Многочлен первой степени неприводим над любым полем.

Доказательство. Пусть и .

Предположим, что приводим над ; тогда , где , . Отсюда следует, что , и , .

В последнем равенстве слева стоит многочлен первой степени, а справа – нулевой степени. Такое равенство невозможно. Полученное противоречие доказывает лемму.

 

Найдем все неприводимые многочлены над полями C и R.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.