Неприводимые и приводимые
Многочлены над полями C и R
Ниже мы введем понятие многочленов, играющих в теории многочленов ту же роль, что простые числа играют в теории целых чисел. Простое число нельзя разложить в произведение двух множителей, меньших по модулю. Аналогично определяются неприводимые многочлены, только вместо модулей рассматриваются степени многочленов. Определение 1.Многочлен (где P – произвольное поле) называют приводимым над полем P, если он представим в виде (1), где , (2), причем , . В противном случае называется неприводимым над полем P. Из определения видно, что элементы поля P мы не относим ни к приводимым, ни к неприводимым многочленам (аналогично числа – ни простые, ни составные). Замечание 1. Другими словами, многочлен , не содержащийся в поле P, называется неприводимым над P, если в любом его разложении вида (1) с условием (2) степень хотя бы одного из множителей – нулевая (а степень второго равна степени ). Неприводимый многочлен над P нельзя разложить в произведение двух множителей из степеней, меньших, чем степень . Пример. Многочлен над полем R неприводим, а над С – приводим, ибо , где . Замечание 2. Если многочлен приводим над P, то при расширении поля P, он, очевидно, остается приводимым. С другой стороны, как показывает приведенный выше пример, неприводимый многочлен над P при расширении поля до может стать приводимым над . Лемма 1. Многочлен первой степени неприводим над любым полем. Доказательство. Пусть и . Предположим, что приводим над ; тогда , где , . Отсюда следует, что , и , . В последнем равенстве слева стоит многочлен первой степени, а справа – нулевой степени. Такое равенство невозможно. Полученное противоречие доказывает лемму.
Найдем все неприводимые многочлены над полями C и R.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|