Главная | Обратная связь

Связь матриц линейного преобразования в разных базисах конечномерного линейного пространства

Лемма 3.Если С и D – две матрицы n-го порядка над Р, e- некоторый базис линейного пространства L над Р и еС=eD, то C=D.

Доказательство. Пусть

С = D =

Тогда из равенства eC=eD получаем:

e₁y_1i+…+e_ny_ni= e₁d_1i+…+e_nd_ni =b (1) (суммы, стоящие слева, мы обозначили через b). Тогда (1) – два выражения вектора b из L через базис е. Ввиду единственности координат вектора b в базисе е, из (1) получаем:

y_1i=d_1i, …, y_ni=d_ni для любого i. Следовательно, C=D.

Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть L – n-мерное линейное пространство над полем Р, j - линейное преобразование L, e и e`- два базиса L. Если A и B – матрицы линейного преобразования j, соответственно, в базисах e и e`, то В=Т^-1АТ, где Т-матрица перехода от базиса е к базису е`.

Доказательство. Так как А и В – матрицы линейного преобразования j в базисах e и e`, то j(е)=еА, (2)

j(е`)=e`B. (3)

Обозначим через Т матрицу перехода от e к e`, т.е. справедливо равенство e`=eT. (4)

Подставим e` из (4) в (3): j(eT)=(eT)B=e(TB) . (5)

Докажем, что j(eT)= j(e)T . (6)

i-й элемент матрицы j(еТ) равен , так как j – линейное преобразование. Справа мы получили i-й элемент матрицы j(е)Т. Этим доказано равенство (6).

В силу (6) j(еТ)= j(е)Т=(еА)Т=е(АТ) . (7)

Подставляя (7) в левую часть (5), получаем: е(АТ)=е(ТВ). Отсюда, в силу леммы 3, АТ=ТВ. Так как матрица Т невырожденная, то для нее существует обратная матрица Т^-1. Из последнего равенства имеем: В=Т^-1АТ.

Теорема доказана.

Определение 4. Две матрицы С и D, связанные равенством

С= Q^-1DQ (для некоторой невырожденной матрицы Q) называются подобными; говорят также, что С получается из D путем трансформирования матрицей Q (все матрицы – над одним полем Р).

Справедливо утверждение, обратное теореме 2.

Теорема 3. Любые две подобные матрицы А и В n-го порядка над полем Р задают одно и то же линейное преобразование произвольного n-мерного линейного пространства над Р.

Доказательство.По условию В= Q^-1АQ, где |Q|¹0. Рассмотрим произвольное n-мерное линейное пространство L над Р. Пусть е - некоторый базис L. В силу следствия теоремы 1, существует линейное преобразование j этого пространства, которое в базисе е имеет заданную матрицу А. Так как |Q|¹0, то e`=eQ является базисом L, и Q - матрица перехода от е к е`. По теореме 2 преобразование j в базисе е` имеет матрицу Q^-1AQ, а она по условию равна В.

Теорема доказана.