Главная | Обратная связь

Ядро и область значений линейного преобразования

Определение 10. Пусть j – линейное преобразование линейного пространства L. Множество j(L) образов всех векторов из L при действии j называют областью значений преобразования j (т.е. j(L)={j(a)| aÎL}).

Утверждение 1. Область значений j(L) линейного преобразования j является подпространством L.

Доказательство. Действительно, если b₁, b₂Îj(L), то b₁=j(a₁), b₂=j(a₂), где a₁, a₂ÎL. Поэтому b₁+b₂=j(a₁)+j(a₂)=j(a₁+a₂)Îj(L). Аналогично ab₁=aj(a₁)=j(aa₁)Îj(L). Следовательно, множество j(L) является подпространством линейного пространства L.

Утверждение доказано.

Определение 11. Пусть L - конечномерное линейное пространство. Размерность области значений j(L) линейного преобразования j пространства L называют рангом линейного преобразования j.

Теорема 5. Ранг линейного преобразования j равен рангу матрицы этого преобразования (в любом базисе).

Доказательство. Пусть е=(е₁,…,e_n) – базис L. Для любого аÎL имеем: . Отсюда . Это означает, что j(L)=<j(e₁), j(e₂),…,j(e_n)>. Тогда dim j(L) равна рангу системы векторов j(e₁), j(e₂),…,j(e_n) (1). Пусть А - матрица преобразования j в базисе е. Тогда столбцы А – это координатные столбцы векторов (1) в базисе е. Поэтому ранг системы (1) равен рангу r_A матрицы А, т.е. dim j(L)=r_A.

Теорема доказана.

Определение 12. Множество всех векторов линейного пространства L, которые переводятся линейным преобразованием j в нулевой вектор, называется ядром линейного преобразования j и обозначается Kerj.

Легко проверяется, что ядро линейного преобразования является подпространством линейного пространства L.

Определение 13. Если L – конечномерное линейное пространство, то размерность ядра линейного преобразования этого пространства называют дефектом линейного преобразования j.

Примеры.

Рассмотрим некоторые линейные преобразования плоскости R₂.

1. j – проектирование R₂ на ось OX. Тогда j(L) – это все векторы оси OX, Kerj – все векторы оси OY. Ранг и дефект j равны 1.

2. y – поворот плоскости на угол a¹kp. Тогда y(R₂)=R₂, Kery=0. Ранг y равен 2, дефект y равен 0.

3. g – симметрия плоскости относительно начала координат. Тогда g(R₂)=R₂, Kerg=0. Ранг g равен 2, дефект g равен 0.

Теорема 6. Пусть L – n-мерное линейное пространство над полем Р, j – его линейное преобразование. Если ранг j равен r, то дефект j равен n-r (т.е. dim Kerj=n-r).

Доказательство. Вектор bÎL содержится в Kerj тогда и только тогда, когда j(b)=0 (2). Если е – некоторый базис L, А – матрица j в этом базисе, то (2) выполняется тогда и только тогда, когда А[b]=0, т.е. [b] – решение однородной системы АХ=0 (3). Так как по теореме 5 ранг А равен r, то пространство решений этой системы имеет размерность (n-r). Но это пространство решений изоморфно Kerj, так как координатные столбцы всех векторов из Kerj, и только таких векторов, удовлетворяют системе (3). Значит, dim Kerj=n-r.

Теорема доказана.

Следствие. Если L – n-мерное линейное пространство, то

dim j(L)+dim Kerj=n.

Справедливость этого утверждения вытекает из теорем 5 и 6, ибо r+(n-r)=n.