Главная | Обратная связь

Линейные преобразования с простым спектром

Во многих случаях оказывается необходимым знать, может ли данное линейное преобразование j иметь в некотором базисе диагональную матрицу. На самом деле далеко не всякое линейное преобразование может быть задано диагональной матрицей.

Теорема 8. Линейное преобразование j тогда и только тогда задается в базисе е₁,…, e_n диагональной матрицей, если все векторы этого базиса являются собственными векторами преобразования j.

Необходимость. Если j задается в базисе е диагональной матрицей

l1 0 . . . 0 ln

 

 

(1)

 

 

,

 

то j(e_i)=l_ie_i (2), т.е. e_i - собственные векторы преобразования j (e_i≠0, так как содержатся в базисе).

Достаточность. Если базис е состоит из собственных векторов преобразования j, то справедливы равенства (2), а тогда j имеет в базисе е диагональную матрицу (1).

Теорема доказана.

Теорема 9. Собственные векторы b₁, ...,b_k линейного преобразова­ния j, относящиеся к различным собственным значениям, со­ставляют линейно независимую систему.

Доказательство. Будем доказывать это утверждение индукцией по k.. При k=1 оно справедливо – один собственный вектор, будучи отличным от нуля, составляет линейно независимую систему. Пусть j(b_i)=l_ib_i (i=1,…,n) и l_i≠l_j при i≠j.

Предположим,что утверждение теоремы 9 верно для (k-1), т.е. b₁,…,b_k-1 - линейно независимая система векторов.

Докажем, что теорема верна и для системы векторов b₁,…,b_k, удовлетворяющей условию теоремы 6.

Если система векторов b₁,…,b_k линейно зависима, то справедливо равенство a₁b₁+a₂b₂+…+a_kb_k=0 (3), где, например, a₁≠0. Применяя к обеим частям равенства (3) преобразование j, получим:

a₁l₁b₁+a₂l₂b₂+…+a_kl_kb_k=0. Вычитая отсюда равенство (3), умноженное на l_k, получим:

a₁(l₁-l_k)b₁+…+a_k-1(l_k-1-l_k)b_k-1=0, что дает нетривиальную линейную зависимость между векторами b₁,b₂,…,b_k-1 так как a₁(l₁-l_k)≠0 (ввидуl₁≠l_k) - вопреки предположению индукции. Значит, система b₁,…,b_k линейно независима.

Теорема доказана.

Определение 20. Говорят, что линейное преобразование j линей­ного пространства L над полем Pимеет простой спектр, если все его харак­теристические корни различны и принадлежат P.

Преобразование j с простым спектром имеет, следовательно, п различных собственных значений, а поэтому, по теореме 9, в пространстве L существует базис, составленный из собственных векторов этого преобразования. По теореме 8 в этом базисе j имеет диагональную матрицу. Та­ким образом, справедлива

Теорема 10. Всякое линейное преобразование с простым спект­ром конечномерного линейного пространства над полем P в некотором базисе этого пространства имеет диагональную матрицу.

Переходя от линейного преобразования к матрицам, его задаю­щим, мы получаем следующий результат:

Теорема 11. Всякая матрица над полем P, все характеристические корни которой различны и принадлежат P, подобна диагональной матрице или, как говорят, такая матрица приводится к диагональному виду.

ЧАСТЬ 2