Главная | Обратная связь

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка, А=(a_ij).

Определение 15. Матрицу

 

 

А-lЕ=

,

 

где числа a_ij - элементы поля Р и l – переменная, называют характеристической матрицей матрицы А. Ее определитель

c(l)=|A-lE| представляет собой многочлен от переменной l степени n. Этот многочлен называют характеристическим многочленом матрицы А.

Характеристический многочлен матрицы А порядка n имеет вид:

c(l)= р₀lⁿ+p₁l^n-1+…+p_n.

Нетрудно проверить, что p₀=(-1)ⁿ, p₁=(-1)^n-1(a₁₁+a₂₂+…+a_nn),…, p_n=|A| (ибо p_n = c(0)).

Определение 16. Корни характеристического многочлена |A-lE| называют характеристическими корнями матрицы А.

Заметим, что характеристические корни матрицы А могут и не принадлежать полю Р, но всегда существуют в некотором расширении поля Р (и все они находятся в поле разложения многочлена c(l)).

Определение 17. Множество всех характеристических корней матрицы A, в котором каждый корень повторяется столько раз, какова его кратность, называют спектром матрицы А.

В соответствии с формулами Виета коэффициенты характеристического многочлена связаны с его корнями l₁, l₂, .., l_n следующим образом:

p₁=l₁+…+l_n,

p₂=l₁l₂+l₁l₃+…+l_n-1l_n,

…………,

p_n=l₁l₂…l_n.

Из этих формул, и отмеченного выше вида коэффициентов p₁,…, p_n в частности, вытекают часто применяемые соотношения:

l₁+…+l_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn, l₁l₂…l_n=|A|.

Согласно последнему равенству характеристический многочлен матрицы имеет нулевой характеристический корень тогда и только тогда, когда определитель матрицы равен нулю, т.е. эта матрица вырожденная.

Лемма. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы.

Доказательство. Пусть A=Q^-1BQ. Тогда, учитывая, что матрица lE перестановочна с любой матрицей и |Q^-1|=|Q|^-1, имеем:

|A-lE|=|Q^-1BQ-lE|=|Q^-1BQ-Q^-1QlE|=|Q^-1BQ-Q^-1lEQ|=|Q^-1(B-lE)Q|= |Q|^-1|B-lE||Q|=|B-lE|.

Лемма доказана.

Так как матрица линейного преобразования в разных базисах подобны, то из леммы вытекает

Следствие. Матрицы линейного преобразования j в разных базисах конечномерного линейного пространства имеют один и тот же набор характеристических корней.

Поэтому эти корни можно назвать характеристическими корнями преобразования j.

Определение 18. Спектр матрицы линейного преобразования j в любом базисе называется спектром линейного преобразования j.

С понятием характеристического корня линейного преобразования j тесно связано приводимое ниже понятие собственного значения j.

Определение 19. Пусть j – линейное преобразование линейного пространства L над полем Р. Ненулевой вектор aÎL называют собственным вектором преобразования j, если этим преобразованием он переводится в вектор l₀a, т.е. j(a)=l₀a, где l₀ – некоторое число из поля Р, называемое собственным значением преобразования j. При этом говорят, что собственный вектор a принадлежит собственному значению l₀ (или относится к этому собственному значению).

Заметим, что нулевой вектор не считается собственным вектором никакого линейного преобразования.

Примеры:

1. Пусть L – любое линейное пространство, j – его линейное преобразование, задаваемое так: j(а)=l₀а "aÎL (преобразование растяжения). Тогда собственными векторами j будут все ненулевые векторы из L, а собственные значения j - только число l₀.

Следующие два примера – для пространства R₂ векторов-отрезков на плоскости.

2. j – проектирование R₂ на ось ОХ. Тогда собственными векторами j будут все ненулевые векторы оси ОХ (так как, если аÎOX\О, то j(a)=a=1×a), и все ненулевые векторы оси OY (если bÎOY\O, то j(b)=0=0×b). Собственные значения j – числа 1 и 0.

3. y – поворот плоскости на угол a¹kp. Так как при таком повороте ни один вектор, отличный от нуля, не остается на своей прямой (т.е. не переходит в пропорциональный), то y не имеет собственных векторов.

Теорема 7. Собственными значениями линейного преобразования j, действующего в конечномерном линейном пространстве L над полем Р, являются характеристические корни этого преобразования, принадлежащие полю Р, и только они.

Доказательство. 1. Пусть линейное преобразование j в некотором базисе е имеет матрицу А и число l₀ является собственным значением линейного преобразования j. Тогда l₀ÎР и существует аÎL\0, что справедливо равенство j(a)=l₀a (1). Если e –тождественное преобразование, то l₀а=e(l₀а)=(l₀e)(а). Так как в силу (1) j(а)-l₀a=0,

то мы получаем: j(а)-l₀a=j(а)-(l₀e)(а)=(j-l₀e)(а)=0 (2).

Пусть А – матрица j в базисе е. Тогда равенство (1) равносильно координатному равенству (А-l₀Е)[a]=0 (3), где [a] – столбец координат вектора а в базисе е.

Матричное равенство (3) показывает, что столбец [a] является решением однородной системы линейных уравнений (А-l₀Е)Х=0 (4). Так как вектор а ненулевой, то система (4) имеет ненулевые решения, и потому ее определитель равен нулю, т.е. |A- l₀E|=0 (5). Значит, число l₀ является характеристическим корнем преобразования j, содержащимся в Р.

2. Докажем обратное утверждение.

Пусть l₀ – характеристический корень j, принадлежащий Р. Тогда выполняется (5), т.е. определитель однородной системы (4) равен нулю, и эта система имеет ненулевое решение, т.е. для некоторого вектора a¹0 выполняется (3). А тогда вектор а удовлетворяет условиям (2) и (1). Поэтому, по определению, а – собственный вектор преобразования j. Так как l₀ÎР, то из (1) следует, что l₀ – собственное значение j.

Теорема доказана.

Замечание 1. Если ввести обозначения:

СЗj – множество собственных значений j, ХКj – множество характеристических корней j, то теорема 7 примет вид: ХКjÇР=СЗj.

Так как все корни многочлена с комплексными коэффициентами комплексные, то из теоремы 7 получаем

Следствие. В конечномерном комплексном линейном пространстве собственными значениями любого его линейного преобразования являются все его характеристические корни, и только они. В конечномерном действительном линейном пространстве собственными значениями линейного преобразования являются все его действительные характеристические корни, и только они.

Замечание 2. Из этого следствия вытекает следующее правило. Для отыскания всех собственных значений линейного преобразования с матрицей А нужно найти все характеристические корни матрицы А и из них выбрать лишь те, которые принадлежат основному полю Р. Для отыскания всех собственных векторов линейного преобразования с матрицей А нужно для каждого собственного значения l₀ найти все ненулевые решения системы (4).