ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ НА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Рассмотрим некоторые полезные функции одной и двух переменных, заданные на линейном пространстве над произвольным полем и принимающие значения в этом поле (их называют числовыми функциями).
§1. Линейные функции Определение 1. Линейное отображение линейного пространства над полем в называют линейной функцией, или линейной формой, заданной на . Примером линейной функции является функция заданная на любом линейном пространстве над полем . Нетрудно получить общий вид линейной функции, заданной на произвольном конечномерном линейном пространстве. Теорема 1.Пусть - мерное линейное пространство над , – линейная функция на и – произвольный базис . Тогда в этом базисе функция запишется так: , (1) где – координатный столбец вектора в базисе , Доказательство.Пусть . Так как – базис , то . По определению линейной функции отсюда получаем: . Введём обозначения: , Получаем: , где , Теорема доказана. Нетрудно проверить, что множество всех линейных функций, заданных на линейном пространстве над полем , также является линейным пространством над . Его называют сопряженным (или двойственным) к . Подробнее об и его связях с можно прочитать в [3]. Замечание. В записи (1) – переменный вектор из , – переменные, принимающие значения в поле .
§2. Билинейные функции Рассмотрим теперь числовую функцию двух переменных, заданную на линейном пространстве. Определение 2.Пусть – линейное пространство над . Функция двух переменных , заданная на и принимающая значения в поле , называется билинейной функцией (или билинейной формой), если она линейна по каждому аргументу, т.е. и справедливы равенства: ; (линейность по при неизменном ) и аналогичная линейность по при неизменном . Билинейную функцию также можно записать в координатах, если – конечномерное линейное пространство над . Пусть – некоторый базис , Тогда , . Учитывая определение билинейной функции, получаем: . (2) Введем обозначения: . Тогда из (2) получим: (3) – запись билинейной функции в координатах ( т.е. в некотором базисе пространства ). Определение 3. Матрица из элементов , входящих в запись (3), называется матрицей билинейной функции . Определение 4.Если (4), то билинейную функцию вида (3) называют симметричной. Пример. Рассмотрим скалярное произведение векторов-отрезков на плоскости. Легко проверить, что это – симметричная билинейная форма.
§3. Квадратичные формы Определение 5.Пусть – симметричная билинейная функция на линейном пространстве . Если положить , то числовая функция одной переменной называется квадратичной формой. Пример. Рассмотрим на пространстве векторов-отрезков скалярный квадрат вектора . Нетрудно убедиться, что это – квадратичная форма. Из определения квадратичной формы и вида (3) билинейной формы следует, что . (5) Мы получили вид квадратичной формы, заданной на конечномерном линейном пространстве, в некотором базисе этого пространства. Матрица называется матрицей квадратичной формы . Заметим, что в силу определений 4 и 5 или , т.е. матрица квадратичной формы симметрична относительно главной диагонали (такую матрицу называют симметрической). Ниже мы будем рассматривать квадратичные формы в основном на конечномерных линейных пространствах. Замечание 1. На квадратичную форму (5) можно смотреть также как на многочлен вида (5) от переменных над , все члены которого – степени 2. Тогда её обозначают через . Отметим, что неизвестные мы считаем перестановочными. Введем обозначение: . Тогда . Пусть – матрица квадратичной формы (5). Рассмотрим . Умножив это равенство слева на , получим . Мы показали: (6). Это матричная запись квадратичной формы . Легко проверить справедливость следующего утверждения: Лемма. Пусть и – две матрицы и существует . Тогда . Замечание 2. Индукцией отсюда получаем . ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|