 |
|
Метод интегрирования по частям
Этот метод применяют для интегралов вида:
а) 
, 
, 
;
б) 
, 
, 
, 
, 
;
в) 
, 
;
где 
- многочлен.
Формула интегрирования по частям имеет вид:
.
1. Для интегралов типа а) принимают U =P(x), все остальное равно dV.
2. Для интегралов типа б) принимают dV =P(x)dx.
3. для интегралов типа в) за U принимают любую функцию, метод применяют дважды.
Примеры :
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) можно решение записать иначе:
.
Получили первоначальный интеграл, обозначим его y
;
;
+С.
Литература [1, 2]
Вопросы для самопроверки:
1. Что называется первообразной функции?
2. Какие основные формулы интегралов Вы знаете?
3. Напишите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Тема 6. Определенный интеграл, его свойства
Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и замена переменной. Приложения определенного интеграла.
Задача о площади
Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной графиком непрерывной, неотрицательной функции y=f(x), прямыми x=a, x=b, отрезком [a ,b]. Такая фигура называется криволинейной трапецией.
1. Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на n частей точками 
. Получим n маленьких отрезков с длинами 
; 
.
2. Через точки деления проведем вертикальные прямые. Трапеция разобьется на n трапеций. На каждом из элементарных отрезков выберем произвольным образом по точке 
.
Найдем значения функции в этих точках
.
Примем эти ординаты за высоты прямоугольников.
3. Будем считать, что площади маленьких криволинейных трапеций приближенно равны площадям прямоугольников с основаниями 
и высотами 
. Тогда
.
Чем мельче отрезки деления, тем точнее это равенство. За точное значение площади трапеции примем предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур при неограниченном увеличении числа отрезков деления и стремлении к нулю наибольшей из длин этих отрезков.
.