Понятие определенного интеграла
К нахождению предела, рассмотренного в предыдущем пункте, приводит ряд задач естествознания. Поэтому рассмотрим предел, отвлекаясь от конкретного смысла задачи. Пусть на [a, b] задана произвольная функция y=f(x). Применяя для нее схему предыдущей задачи, составим сумму произведений вида
Такая сумма называется интегральной суммой функции f(x) на [a, b]. Она зависит от способа деления [a, b] на элементарные части и от выбора точек
Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при
_____________________________
Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, получаем
т.е. при Теорема. Для любой непрерывной на [a,b] функции существует определенный интеграл.
Свойства определенного интеграла
1) 3) 5) 6) Если Если Следствие. Если 7) если f(x) непрерывна на [a, b], m, M- ее соответственно наименьшее и наибольшее значения на [a, b], то справедлива оценка 8) (теорема о среднем) . Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует хотя бы одна точка
Формула Ньютона-Лейбница Пусть f(x) – непрерывна на [a, b], F(x) – первообразная функции f(x) на [a,b], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке:
Примеры 1) 2)
Интегрирование по частям (см. интегрирование по частям в разделе "Неопределенный интеграл") Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид Пример. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|