Понятие определенного интеграла
К нахождению предела, рассмотренного в предыдущем пункте, приводит ряд задач естествознания. Поэтому рассмотрим предел, отвлекаясь от конкретного смысла задачи. Пусть на [a, b] задана произвольная функция y=f(x). Применяя для нее схему предыдущей задачи, составим сумму произведений вида . Такая сумма называется интегральной суммой функции f(x) на [a, b]. Она зависит от способа деления [a, b] на элементарные части и от выбора точек на каждой из этих частей.
Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий от способа деления [a, b] и выбора точек , то этот предел (число) называется определенным интегралом от функции f(x) на [a, b] и обозначается
_____________________________
Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, получаем , т.е. при определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла. Теорема. Для любой непрерывной на [a,b] функции существует определенный интеграл.
Свойства определенного интеграла
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) Если , то ; Если , то . Следствие. Если , то ; 7) если f(x) непрерывна на [a, b], m, M- ее соответственно наименьшее и наибольшее значения на [a, b], то справедлива оценка 8) (теорема о среднем) . Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует хотя бы одна точка такая, что
Формула Ньютона-Лейбница Пусть f(x) – непрерывна на [a, b], F(x) – первообразная функции f(x) на [a,b], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке: . Примеры 1) ; 2) .
Интегрирование по частям (см. интегрирование по частям в разделе "Неопределенный интеграл") Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид Пример. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|