Здавалка
Главная | Обратная связь

Понятие определенного интеграла



 

К нахождению предела, рассмотренного в предыдущем пункте, приводит

ряд задач естествознания. Поэтому рассмотрим предел, отвлекаясь от конкретного смысла задачи.

Пусть на [a, b] задана произвольная функция y=f(x). Применяя для нее схему предыдущей задачи, составим сумму произведений вида

.

Такая сумма называется интегральной суммой функции f(x) на [a, b]. Она

зависит от способа деления [a, b] на элементарные части и от выбора точек

на каждой из этих частей.

 

Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий от способа деления [a, b] и выбора точек , то этот предел (число) называется определенным интегралом от функции f(x) на [a, b] и обозначается

 

_____________________________

 

 

Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, получаем

,

т.е. при определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Теорема. Для любой непрерывной на [a,b] функции существует определенный интеграл.

 

Свойства определенного интеграла

 

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) Если , то ;

Если , то .

Следствие. Если , то ;

7) если f(x) непрерывна на [a, b], m, M- ее соответственно наименьшее и наибольшее значения на [a, b], то справедлива оценка

8) (теорема о среднем) . Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует хотя бы одна точка такая, что

 

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть f(x) – непрерывна на [a, b], F(x) – первообразная функции f(x) на [a,b], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке:

.

Примеры

1) ;

2)

.

 

Интегрирование по частям

(см. интегрирование по частям в разделе "Неопределенный интеграл")

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Пример.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.