 |
|
Векторний добутки векторів.
Завдання №1. Обчислити площу трикутника, побудованого на векторах 
і 
, якщо 
а кут між векторами 
Розв'язок:
Так як 
, то
.
Відповідь: Площа трикутника дорівнює 
.
Завдання №2. У трикутнику з вершинами 
. Знайти висоту 
.
Розв'язок: Згідно з геометричним змістом векторного добутку двох векторів маємо:
Із елементарної математики
Виразимо висоту:
Знаходимо вектори:
.
Відповідь: Довжина висоти дорівнює 
.
Завдання №3. Обчислити величину обертального моменту 
сили 
, прикладеної до точки 
відносно точки 
.
Розв'язок: Знайдемо координати вектора 
, тоді
Відповідь: Величина обертального моменту дорівнює 
.
Завдання №4. Довести, що чотири точки 
лежать в одній площині.
Розв'язок: Знаходимо вектори 
, 
і 
. Перевіряємо умову компланарності трьох векторів (вектори, а значить и точки, будуть лежати в одній площині) 
.
.
Відповідь: точки належать одній площині.
Завдання №5. В тетраедрі з вершинами в точках 
обчислити висоту 
.
Розв'язок: Зробимо малюнок.
Геометричний зміст змішаного добутку трьох векторів, що виходять з однієї точки, це об’єм призми, побудованої на цих векторах. Тоді формула об’єму піраміди:
З елементарної математики відомо, що 
, тоді
Звідки
Знаходимо вектори 
.
Тоді 
Відповідь: Довжина висоти дорівнює 
.
Лінійна незалежна система векторів.
Завдання №6. Довести, що вектори 
, 
, 
утворюють базис і знайти координати вектора 
в цьому базисі.
Розв'язок: Три не компланарних вектори в 
– лінійно незалежні і утворюють базис по якому можна розкласти будь який четвертий вектор.
Перевіримо компланарність векторів 
.
Отже вектори 
утворюють базис. Тоді 
. Перепишемо в координатній формі:
Розв’яжемо цю систему методом Крамера.
, 
, 
.
Тоді 
.
Відповідь: .
Завдання до практичного заняття №2
Завдання №1
У трикутнику з вершинами 
. Знайти висоту 
.
1.1 
| 1.5 
|
1.2 
| 1.6 
|
1.3 
| 1.7 
|
1.4 
| 1.8 
|
Завдання №2
Обчислити площу трикутника 
, якщо відомі координати його вершини.
2.1  .
| 2.5 
|
2.2   .
| 2.6 
|
2.3 
| 2.7 
|
2.4 
| 2.8 
|