 |
|
Відстань від точки до прямої.
Завдання № 3. Знайдіть відстань від точки 
до прямої 
.
Розв'язок. Відстань знайдемо по формулі (2.10).
.
Відповідь:відстань дорівнює 
(лін. од.).
Завдання № 4. Знайдіть відстань від точки 
до прямої 
.
Розв'язок. 
.
По формулі (2.10):
.
Відповідь: 
(лін. од.).
Кут між двома прямими.
Завдання № 5. Знайти кут між прямими
, 
.
Розв'язок.Кут між прямими знаходиться по формулі (2.3)
Спочатку запишемо рівняння з кутовими коефіцієнтами для наданих прямих
.
Тепер підставимо значення знайдених кутових коефіцієнтів в (2.3) для визначення кута
Відповідь:кут між прямими становить
Завдання до практичного заняття № 2.
Завдання № 1.
Указати, які із прямих паралельні й перпендикулярні.
1.1 
1.2 
1.3 
1.4 
Завдання № 2.
Через точку М провести пряму 
паралельно до прямої 
.
2.1 М(3,-2), 
; 2.2 М(0,-2), 
;
2.3 М(4,-1), 
; 2.4 М(3,3), 
.
Завдання № 3
Через точку М провести пряму перпендикулярно до прямої .
3.1 М(0,-2), 
; 3.2 М(5,-2), ;
3.3 М(2,-1), 
; 3.4 М(4,3), 
.
Завдання № 4.
Знайдіть відстань від точки М до прямої.
4.1 
, 
; 4.2 , 
;
4.3 
, 
; 4.4 
, 
;
4.5 
, 
; 4.6 
, 
.
Завдання № 5.
Знайти кут між прямими.
5.1 
, 
; 5.2 
, 
.
5.3 
, 
, 5.4 
, 
.
5.5 
, 
, 5.6 
, 
.
Типові завдання(з коментарем).
Приклад 1. Знайти рівняння прямих, паралельних прямій
і віддалених від неї на відстань .
Розв'язок.Для всякої точки М (х, у) шуканої прямої відповідно до формули (2.10) повинна виконуватися рівність
Звідси або 
, або 
.
Відповідь: рівняння прямих , .
Приклад 2. Надано вершини трикутника АВС (Рисунок 2.5): А(1,–4), В(2, 2), С(5,0).
Знайти:
а) рівняння сторони АВ- пряма ;
б) рівняння висоти СН- пряма 
;
в) рівняння медіани АМ- пряма 
;
г) рівняння прямої, що проходить через вершину С паралельно прямої
АВ- пряма 
;
д) відстань від точки С до точки Н.
Розв'язок. Знайдемо рівняння сторони АВ- прямої .
Скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві точки (2.9)
.
Будемо вважати точку А -першою, точку В -другою. Одержимо
.
Знайдемо рівняння висоти СН- прямої .
Рівняння прямої 
будемо шукати у вигляді 
. Пряма перпендикулярна прямій , значить з (2.4): 
Для знаходження 
використаємо координати точки С, що лежить на шуканій прямій і, отже, задовольняє рівнянню прямої . Підставимо в нього координати точки С:
З урахуванням 
одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
або загальне рівняння прямої :
Знайдемо рівняння медіани АМ- прямої .
Щоб записати рівняння прямої АМ потрібно знати координати точки М.
Точка М ( 
)ділить сторону СВ навпіл, тобто
,
де 
.
Знаходимо координати точки М:
,
Таким чином: М 
Скористаємося рівнянням прямої, що проходить через дві точки
.
Точку А вважаємо першою, точку М – другою
.
Загальне рівняння прямої АМ:
Знайдемо рівняння прямої .
Рівняння прямої будемо шукати у вигляді 
. Пряма паралельна прямій , значить з (2.5): 
Для знаходження 
використаємо координати точки С, що лежить на шуканій прямій і, отже, задовольняє рівнянню прямої . Підставимо в нього координати точки С
З урахуванням 
одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
або загальне рівняння прямої :
Знайдемо відстань від точки С до точки Н, тобто довжину висоти СН.
Скористаємося формулою (2.10) відстані від точки до прямої. У нашому випадку ця відстань від точки С до прямої АВ:
.
Відповідь:
Заняття №3
Тема: Канонічні рівняння кривих другого порядку. Формули паралельного переносу координатних осей. Полярна система координат.
Література: [4], розділ 1, § 2, стор.27-41,
[5], розділ 1, глава 4, стор.35-52,
[5], розділ 1, глава 5, стор.52-62,
[6], глава1, § 3, стор.27-36,
[6], глава 1, § 4, стор. 37-41,
[6], глава 1, § 5, стор. 45-50.
Ціль: навчитися застосовувати формули паралельного переносу осей та приводити криві другого порядку до каноніч-ного вигляду, використовуючи формули паралельного переносу осей; вміти здійснювати перехід із декартової в полярну системи координат й навпаки.
План.
1. Коло, еліпс, гіпербола, парабола. Формула паралельного переносу осей.
2. Формули зв'язку полярної й декартової систем координат.