 |
|
Коло, еліпс, гіпербола, парабола. Формула паралельного
переносу осей.
Завдання № 1. Знайти канонічне рівняння кривої 2-го порядку
і побудувати її графік.
Розв'язок.У рівняння даної кривої не входить добуток координат ху, тому, щоб одержати канонічне рівняння потрібно виконати тільки паралельний перенос координатних осей (2.13).
Будемо групувати окремо члени, що містять координату х, окремо члени, що містять координату у. При цьому коефіцієнти при 
повинні дорівнювати одиниці.
.
Тепер доповнюємо вираз у дужках до повного квадрату, додаючи й віднімаючи потрібне число.
.
Далі виконуємо необхідні перетворення, що приводять до одного з канонічних рівнянь із таблиці.
Використаємо формули перетворень координат при паралельному переносі координатних осей (2.13):
де точка 
- центр
нової системи координат 
Після заміни одержуємо
рівняння
уявного еліпсу (Рисунок.6):
.
На малюнку показуємо
тільки надану й паралельно
перенесену системи координат,
оскільки еліпс- уявний.
Відповідь:одержанорівняння уявного еліпсу
.
Формули зв'язку полярної й декартової систем координат.
Завдання № 2.Визначити яку лінію представляє рівняння
і побудувати її.
Розв'язок. Використаємо формули зв'язку полярної й декартової систем координат (2.12). Тоді надане рівняння прийме вигляд:
.
Помножимо обидві частини рівняння на вираз з коренем
Отримане рівняння перетворимо до канонічного вигляду кривої другого порядку, доповнюючи до повного квадрата вираз, що містить координату у
і вводячи формули перетворення
координат
при паралельному переносі
координатних осей (2.13):
де точка 
-центр
нової системи координат 
З урахуванням заміни, одержимо (Рисунок.7) рівняння кола:
.
Відповідь:рівняння кола 
.
Завдання № 3.У полярній системі координат надана точка 
. Знайти її координати в декартовій системі.
Розв'язок.Підставимо полярні координати точки у формули (2.12) та одержимо декартові координати
.
Відповідь:в декартовій системі точка має координати 
.