 |
|
Завдання до практичного заняття № 3
Завдання № 1.
Знайти канонічні рівняння кривої 2-го порядку та побудувати її графік.
1.1 
; 1.2 
;
1.3 
; 1.4 
.
Завдання № 2.
Визначити яку лінію представляє рівняння та побудувати її.
2.1 
; 2.2 
; 2.3 
; 2.4 
.
Завдання № 3.
У полярній системі координат надана точка М. Знайти її координати в декартовій системі.
3.1 
; 3.2 
; 3.3 
; 3.4 
.
3.5 
; 3.6 
; 3.7 
; 3.8 
.
Типові завдання(з коментарем).
Приклад 1.Знайти канонічне рівняння кривої 2-го порядку
і побудувати її графік.
Розв'язок. У рівняння даної кривої не входить добуток координат ху, тому, щоб одержати канонічне рівняння потрібно виконати тільки паралельний перенос координатних осей (2.13).
Будемо групувати окремо члени, що містять координату х, окремо члени, що містять координату у. При цьому коефіцієнти при 
повинні дорівнювати одиниці.
.
Тепер доповнюємо вираз у дужках до повного квадрату, додаючи й віднімаючи потрібне число.
.
Далі виконуємо необхідні перетворення, що приводять до одного з канонічних рівнянь із таблиці.
Використаємо формули перетворень координат при паралельному переносі координатних осей (2.13):
де точка 
- центр нової системи координат 
Півосі 
.
Після заміни одержуємо рівняння гіперболи (Рисунок.8):
.
Відповідь:одержано
рівняння гіперболи
.
Приклад 2.Визначити яку лінію представляє рівняння та побудувати її.
.
Розв'язок.Використаємо формули зв'язку полярної й декартової систем координат (2.12). Тоді надане рівняння прийме вигляд:
.
Помножимо обидві частини рівняння на вираз із коренем
Отримане рівняння перетворимо до канонічного вигляду кривої другого порядку, доповнюючи до повного квадрата вираз, що містить координату х
і вводячи формули перетворення координат при паралельному переносі координатних осей (2.13):
де точка 
-центр
нової системи координат 
З урахуванням заміни,
одержимо (Рисунок.9):
Відповідь:одержано рівняння кола .
Заняття №4
Тема:Перетворення координат на площині. Формули
повороту осей.
Література: [4], розділ 1, § 2, стор. 41-45,
[6], глава 1, § 4, стор. 41-45.
Ціль:навчитися приводити загальне рівняння кривої друго-го порядку до канонічного вигляду, використовуючи формули перетворення координат на площині.
План.
1. Приведення загального рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду.
Приведення загального рівняння кривої другого порядку до канонічного вигляду.
Завдання № 1.Знайти канонічне рівняння кривої 2-го порядку і побудувати її графік.
.
Розв'язок.Загальне рівняння кривої
.
Знаходимо кут повороту координатних осей по формулі (2.15)
Згідно формулам (2.16),(2.17) та обираючи знак плюс, одержимо
,
Записуємо вираз зв'язку вихідної й повернутої систем координат (2.14)
.
Підставляємо отримані вирази для х та у у вихідне рівняння
.
Розкриваючи дужки й приводячи подібні члени, одержимо
Рівняння відповідає канонічному рівнянню еліпса (Рисунок.10).
,
де 
– його півосі.
В даному прикладі, для приведення кривої другого порядку до канонічного вигляду, немає потреби використовувати формули паралельного пере-носу осей.
Відповідь: одержано рівняння еліпса .
 |