Главная | Обратная связь

МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ

Казаков О.Л., Царькова Н.И.

ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ЭКОНОМИКЕ: Учебно-методиче­ское пособие. М.: МГИУ, 2009, -

 

(Аннотация)

В пособии изложены основные положения курса «Теория оптимального управления (в промышленном менеджменте, экономических систем)».

Собраны теоретические сведения о наиболее распространенных современных методах оптимального управления в экономике, а также материалы по методике их практического освоения. Пособие включает вопросы для самопроверки усвоения теоре­тических положений, примеры решения задач и задания для самостоятельной работы.

 

 

 

Содержание

 

Введение………………………………………………………………….. 4

1. Модели оптимизации в экономике…………………………………..10

1.1. Задача об использовании ресурсов (оптимального планирования производства)………………………………………………………………….10

1.2. Задача определения объема выпуска валовой продукции…….11

1.3. Задача оптимального распределения валовых капитальных вложений………………………………………………………………………13

1.4. Задачи условной оптимизации…………………………………..15

1.5. Метод множителей Лагранжа…………………………………..16

Вопросы для самопроверки…………………………………………….17

Примеры решения задач……………………………………………….18

Задания для самостоятельной работы…………………………………24

 

2. Экономика как объект математического моделирования…………38

2.1. Схема производства и распределения продукции, накопления и потребления………………………………………………………………….38

2.2. Классификация моделей экономических систем…………….40

2.3. Разновидности структурных схем управления экономическими системами……………………………………………………………………42

2.4. Формализованная производственно-технологическая модель эко­номики…………………………………………………………………..44

2.5. Задачи оптимизации и оптимального управления в экономике…………………………………………………………………………….47

Вопросы для самопроверки………………………………………….51

 

3. Модели оптимального управления в экономике………………..53

3.1. Задача оптимального управления развитием экономики….53

3.2. Модель развития экономики: магистральная теория………55

3.3. Задача оптимального управления распределением

валовых капитальных вложений……………………………………56

3.4. Общий вид задачи оптимального управления………………58

3.5. Метод решения задачи оптимального управления…………59

3.6. Принцип максимума Понтрягина……………………………60

3.7. Синтез оптимального управления……………………………61

Вопросы для самопроверки………………………………………….62

Примеры решения задач……………………………………………..63

Задания для самостоятельной работы………………………………70

 

Заключение……………………………………………………………72

 

Приложения……………………………………………………………74

Приложение 1. Решение задач линейного программирования в OpenOffice.org Calc…………………………………………………………75

Приложение 2. Планирование центром оптимального распределения капитальных вложений между предприятиями методом динамического программирования………………………………………………………….80

Приложение 3. Применение метода ДП для поиска оптимального управления предприятием…………………………………………………87

Приложение 4. Учет начальных условий. Траектория выхода на магистраль……………………………………………………………………….93

Приложение 5. Постановка задачи и критерии оптимального управления в динамических системах…………………………………………….99

Приложение 6. Построение траекторий управляемых процессов…114

Приложение 7. Поиск оптимального управления непрерывными детерминированными процессами методами Лагранжа-Понтрягина……..125

Приложение 8. Принцип максимума для дискретных систем……133

Приложение 9. Постановка и решение задачи оптимального управления непрерывными процессами методом ДП в общем виде………….143

 

Список литературы…………………………………………………….146

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Экономика служит для удовлетворения потребностей общества в предметах потребления. Внешняя среда существования национальной экономики включает природу, мировую экономику и общество. Элементами экономики являются хозяйственные единицы (предприятия, фирмы, банки и т.п.). Они объединяются в две основные подсистемы экономики - производственную и финансово-кредитную.

Эффективность экономики зависит от продуктивности хозяйственных единиц, взаимоотношений между ними и влияния внешней среды. Эта зависимость выражается устойчивыми количественными закономерностями, следовательно, может быть представлена математическими моделями.

Под управлением экономикой понимается организация процессов для достижения установленной цели. Оптимальное управление представляет выработку непрерывной во времени функции управления, позволяющей поддерживать экономику в таком состоянии, которое выражается непрерывной во времени функцией и соответствует установленному критерию оптимальности.

В настоящее время весьма важным и актуальным является вопрос о практической значимости математических методов для решения различных экономических задач. Подобные вопросы, обостряемые господствующей в настоящее время прагматичностью и утилитарностью мышления, закономерно возникают у студентов, изучающих соответствующий материал. Ответ на поставленный вопрос является актуальным и для различного ранга руководителей и специалистов, находящихся в условиях постоянного поиска путей повышения эффективности функционирования руководимых ими экономических структур. Остановимся кратко на данной проблеме, поскольку ее сложность и многоплановость приводят к существованию различных точек зрения.

Прежде всего, подчеркнем, что удивительно высокая эффективность математики в естественных и технических науках постоянно подтвер­ждается всей практической деятельностью человека; подчас даже выда­ющиеся ученые нашего времени пишут эмоциональные статьи о «непо­стижимой эффективности математики в естественных науках». Наи­более грандиозные технические проекты XX века — развитие авиации, освоение атомной энергии, выход в космос — без использования мощного математического инструментария не могли бы быть осуществлены в со­временном виде и качестве при минимальном количестве катастрофиче­ских ошибок. Для экономических наук и экономики вообще дело обстоит сложнее, однако даже самый общий взгляд на проблему приводит к осо­знанию того, что тезис о возможной высокой эффективности матема­тики в экономике является вполне естественным и логичным. Действи­тельно, вся математика изначально и многие ее разделы впоследствии своим происхождением и развитием обязаны именно практической, хозяйственной, экономической жизни общества. Выйдя из самих ее основ и неоднократно пройдя классический цикл «от живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике», развив в себе мощные количественные методы анализа, математика не может не найти эффективные приложения в самых различных сферах челове­ческой деятельности. Данное обстоятельство подчеркивает, в частности, неправомерность острого противопоставления математики и реального мира, равно как теории и практики вообще.

В то же время, справедливость общих положений еще не означает их безусловного приоритета в каждом конкретном случае, а любой ме­тод в любой области знания имеет свою сферу применения, подчас весьма ограниченную. По этим причинам не следует преувеличивать и тем более абсолютизировать роль и возможности математических ме­тодов и математики вообще — возникающие «натяжки» легко выявля­ются и вызывают у обучающихся негативное отношение к предмету. Как показывает практика, существует широкий класс экономических струк­тур, управление которыми осуществляется на интуитивном уровне без какого-либо использования математических моделей и методов и дает вполне приемлемые результаты. К таким структурам относятся, как правило, организации, работа которых трудно поддается формализа­ции и не может быть описана четкими количественными показателями и критериями, либо отдельные предприятия мелкого масштаба. Приме­нение математики в организациях и на предприятиях такого типа сво­дится к элементарным арифметическим расчетам в рамках задач бух­галтерского учета. Данные обстоятельства создают и укрепляют иллю­зию возможности успешного управления любыми экономическими си­стемами без использования какой-либо серьезной математики вообще.

Однако такая точка зрения является излишне упрощенной: имею­щиеся примеры не умаляют прикладных возможностей математики, а лишь свидетельствуют о возможности и функционирования некоторых экономических структур без должного математического обеспечения, оставляя при этом открытым вопрос об эффективности самого функ­ционирования. Ситуация кардинально меняется при управлении эконо­мическими и техническими системами, характеризующимися сложной организационной структурой, высоким уровнем технической оснащен­ности, широким диапазоном возможных производственных ситуаций, быстрым изменением условий функционирования. В таких условиях ин­туиция, догадка, «чутье» как основа принятия управленческих реше­ний — несмотря на отдельные достоинства интуитивного подхода — зача­стую оказываются малопродуктивными! Действительно, интуиция фор­мируется лишь на основе ранее приобретенного опыта и накопленных знаний в той или иной сфере деятельности, что требует значительных временных затрат, сопряжено с неизбежными ошибками в управлении и сопровождается устойчивым снижением экономической эффективно­сти. В жестких экономических условиях данный путь может «слишком дорого стоить» и оказаться непозволительной роскошью. Более того, для целесообразного управления сложными экономическими системами недостаточно ведущихся на каждом предприятии бухгалтерских расче­тов, которые лишь отражают сложившееся положение вещей и не ори­ентированы на поиск оптимальных управленческих решений (хотя ис­ходные данные и результаты таких расчетов могут служить материалом для реализации оптимизационных задач управления).

Ошибки в управлении сложными дорогостоящими или даже уни­кальными экономическими системами имеют чрезвычайно высокую цену. Для исключения или, по меньшей мере, снижения риска возникно­вения таких ошибок неизбежно приходится прибегать к использованию математических моделей, уматывающих и выражающих в мате­матической форме весь спектр существенных соотношений между раз­личными количественными характеристиками и параметрами управляемых систем и окружающего их реального мира. Иными словами, ма­тематическая модель представляет собой математическое описание ис­следуемых систем, процессов или явлений (конечно, не абсолютно точ­ное, а приближенное). Задачи управления, опирающиеся на грамотно построенные математические модели, приводят к достоверным, прием­лемым для практического применения результатам, однако являются весьма сложными, и для их решения, как правило, не существует про­стых рецептов и явных формул. Тем самым объективно возникает по­требность в разработке специальных математических методов решения поставленных задач.

Как показывает история науки последнего времени, рациональное применение математических методов может дать исключительно весо­мый дополнительный экономический эффект, многократно окупающий затраты на постановку и исследование задачи управления, разработку или адаптацию метода ее решения и реализацию его на ЭВМ. Не слу­чайно современный развитый мир является свидетелем нарастающего процесса математизации широкого спектра наук: экономических, соци­альных и даже чисто гуманитарных, не говоря уже о естественных и тех­нических. При этом проявляется следующая общая закономерность: чем крупнее масштаб управляемых систем, тем более весомый экономиче­ский эффект дает применение математических методов не только в аб­солютном, но и в относительном исчислении.

Ускоренному проникновению математики в различные сферы дея­тельности человека в значительной степени способствует бурное раз­витие компьютерных технологий. Само появление ЭВМ с их большой вычислительной мощностью позволило ставить и решать столь слож­ные задачи, подступиться к которым без помощи ЭВМ было совершенно немыслимо. Обрела практический смысл разработка сложных матема­тических методов и алгоритмов управления, значительная часть кото­рых без привязки к ЭВМ превращается в отвлеченное формализованное построение. Как признают многие ведущие ученые мира, целенаправ­ленное использование вычислительной мощности ЭВМ является прин­ципиально новым методом познания реального мира: огромный коли­чественный рост производительности вычислений привел к качествен­ным сдвигам в науке в целом и в математике в частности. В совре­менных условиях математические методы реализуются, как правило, в виде специального программного обеспечения для ЭВМ и их наиболее широкого класса — персональных компьютеров. Важно заметить, что при этом многие сложности и специфика реализуемых математических методов скрываются за фасадом простого и удобного пользовательского программного интерфейса; часто складывается обманчивое впечатление, что математика не играет здесь никакой существенной роли, хотя дело обстоит совершенно наоборот!

Математическим методам свойственно различаться глубиной логи­ческого анализа. В связи с этим подчеркнем, что любую задачу управле­ния с достаточной для прак­тических целей точностью можно решить путем последовательного рас­смотрения всех допустимых вариантов управления, или методом пе­ребора (если множество допустимых вариантов бесконечно, то перебор проводится с некоторым малым приращением значений управляющих параметров). Логика метода перебора является наиболее простой и, тем самым, весьма привлекательной для реализации. Однако за внеш­ней простотой данного метода скрывается следующая серьезная про­блема: объем вычислительных работ, связанных с простым перебором, для сложных реальных задач может оказаться столь велик, что с его проведением в разумные приемлемые сроки не смогут справиться даже самые мощные ЭВМ. В то же время практическую значимость представ­ляет не столько потенциальная, сколько актуальная разрешимость за­дачи: решение задачи управления, являясь оптимальным или близким к таковому, должно быть получено оперативно, в режиме «реального времени», иначе оно устареет и потеряет свою значимость еще до окон­чания поиска решения. В соответствии с данным обстоятельством воз­никает объективная необходимость в разработке иных более эффектив­ных методов решения, пусть логически более сложных, но позволяющих снизить трудоемкость вычислений.

Отметим, что методологическая проблема выбора наиболее адекват­ной формы изложения сложных математических дисциплин для студен­тов экономических специальностей не является окончательно решенной. Ограниченность часов на изучение темы, сильно варьирующийся уро­вень математической подготовки студентов, да и сами цели обучения студентов-экономистов требуют специального подхода к преподаванию. В этих условиях особую важность приобретают вопросы соблюдения баланса между строгостью и доступностью изложения, а неизбежный отказ от излишней формализации и строгих доказательств не должен сопровождаться потерей логики и стройности изложения.

Высокая потенциальная эффективность математизации не реализуется са­мопроизвольно, а требует подготовки математически грамотных специалистов. Подчас даже неглубокой математической подготовки достаточно, чтобы по­нять, на каком направлении деятельности предприятия или организации мо­гут быть полезны математические оценки, прогнозы и оптимизация. Напро­тив, недостаточный уровень подготовки и понимания возможностей матема­тики может служить причиной отказа от применения математических методов даже в тех случаях, когда они заведомо позволят выявить скрытые резервы и дать значительный дополнительный экономический эффект.

Не подлежит сомнению, что изучение математики формирует си­стемность и аналитичность мышления, исключительно важные для спе­циалистов любых направлений. При этом важно показать, что мате­матика не есть «абстрактное искусство», демонстрирующее излишнее усложнение действительности, — ее изучение позволяет овладеть мощными методами количественного анализа, имеющими широкие практические при­ложения. Данное положение во многом определяет отношение студентов-экономистов ко всему циклу математических дисциплин.

Экономика служит для удовлетворения потребностей общества в предметах потребления. Внешняя среда существования национальной экономики включает природу, мировую экономику и общество. Элементами экономики являются хозяйственные единицы (предприятия, фирмы, банки и т.п.). Они объединяются в две основные подсистемы экономики - производственную и финансово-кредитную.

Эффективность экономики зависит от продуктивности хозяйственных единиц, взаимоотношений между ними и влияния внешней среды. Эта зависимость выражается устойчивыми количественными закономерностями, следовательно, может быть представлена математическими моделями.

Под управлением экономикой понимается организация процессов для достижения установленной цели. Оптимальное управление представляет выработку непрерывной во времени функции управления, позволяющей поддерживать экономику в таком состоянии, которое выражается непрерывной во времени функцией и соответствует установленному критерию оптимальности.

Для изложения теории оптимального управления используется следующая схема. В первой части курса лекций приводятся характерные модели оптимизации в экономике, служащие базой для постановки задач оптимального управления и их решения. Во второй части экономика рассматривается как объект математического моделирования. Даются основные понятия и обозначения. Определяются задачи оптимизации и оптимального управления в экономике. В заключительной третьей части строятся модели оптимального управления в экономике и рассматриваются принципы их решения.

Для изложения теории оптимального управления используется следующая схема. В первой части курса лекций приводятся характерные модели оптимизации в экономике, служащие базой для постановки задач оптимального управления и их решения. Во второй части экономика рассматривается как объект математического моделирования. Даются основные понятия и обозначения. Определяются задачи оптимизации и оптимального управления в экономике. В заключительной третьей части строятся модели оптимального управления в экономике и рассматриваются принципы их решения.

 

МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИКЕ

1.1. Задача об использовании ресурсов (оптимального планирования производства)

 

Будем рассматривать статическую задачу планирования, в которой параметры остаются неизменными на всем плановом периоде.

Пусть конечный продукт как часть валового продукта состоит из видов продукции (номенклатура продукции). Целью увеличения объема конечного продукта, а следовательно, и валового продукта выберем максимизацию дохода (выручки) от реализации этой продукции.

Если - доход (выручка, цена) от реализации единицы продукции -ого вида ( ). Тогда, если планируется выпустить единиц продукции -ого вида, то суммарный доход по всем видам продукции будет выражаться величиной:

.

Отсюда целевая функция примет вид:

.

Объем выпускаемой продукции зависит от используемых ресурсов и основных производственных фондов (ОПФ). Поэтому, если для производства используются видов ресурсов и их затраты для выпуска единицы продукции определяются ОПФ, то можно ввести следующие обозначения:

- имеющийся запас (резерв) -ого вида ресурсов;

- количества единиц, или объем -ого вида ресурсов, затрачиваемой, или расходуемый на выпуск одной единицы -ого вида продукции.

Тогда объем выпускаемой продукции зависит от следующих ограничений:

, .

Доход от реализации выпускаемой продукции зависит от спроса на нее. Обозначим объем спроса на продукцию -ого вида через число единиц продукции этого вида . Тогда ограничения по спросу примут вид:

, .

Следует оговориться, что данные о спросе на продукцию прогнозируются или определяются полученными заказами. Если спрос превышает предложение, то соответствующие ограничения могут отсутствовать.

Наконец, введем стандартные ограничения на неотрицательность переменных, имеющие ясный прикладной смысл:

, .

Таким образом, задача об использовании ресурсов сформулирована полностью и имеет общий вид:

при ограничениях

, ;

, ;

, .

Эта задача относится к задачам линейного программирования и решается универсальным симплекс-методом (Приложение 1). Оптимальное решение задачи позволяет провести анализ его на чувствительность к изменениям исходных условий, т.е. выявить недефицитные ограничения, что может позволить уменьшить запас имеющихся ресурсов, а следовательно, снизить расходы на их приобретение и хранение.

Однако некоторые непредвиденные изменения исходных данных такой статической задачи в ходе планового периода могут привести к тому, что полученное оптимальное решение - оптимальный план окажется нереализуемым и потребуется его корректировка.