Главная | Обратная связь

Задачи оптимизации и оптимального управления в экономике

 

Рассмотрим один их центральных блоков в производственно-технологической схеме экономики (см. рис. 2.7) - производство. Его можно представить производственной функцией , значение которой определяет валовый продукт , а аргументами являются природные ресурсы , производственное потребление , трудовые ресурсы и основные производственные фонды (ОПФ) :

.

Объединяя природные ресурсы и производственное потребление в один аргумент - ресурсы и считая трудовые ресурсы и ОПФ постоянными величинами, можно сформулировать следующую задачу оптимизации:

.

В этой задаче максимизируется значение валового продукта путем выбора значения ресурсов как аргумента производственной функции . Причем никаких ограничений на значение не накладывается, поэтому такую задачу называют задачей безусловной оптимизации. Оптимальное значение функции достигается при оптимальном решении , для которого в данной задаче максимизации одновременно выполняются два условия:

и

.

Если на выбираемые значения накладываются некоторые ограничения, то рассматриваемая задача приобретает вид:

.

Такую задачу называют задачей условной оптимизации и обычно записывают в виде:

при ограничениях

.

В приведенной записи функция и действительное значение представляют ограничения на значения , а функция называется целевой функцией.

Здесь оптимальное значение целевой функции достигается при оптимальном решении , для которого в данной задаче максимизации одновременно выполняются четыре условия:

,

и

,

.

Как правило, в реальных задачах ограничения меняются во времени. Т.е. в рассматриваемой задаче действительное значение , определяющее запасы ресурсов , будет зависеть от времени. В этом случае и значение производственной функции также будет зависеть от времени.

Обозначим:

- состояние производства,

- управление производством.

Тогда необходимо выбрать такое управление производством, при котором его состояние будет соответствовать требуемому.

Так формулируется задача оптимального управления, в которой нужно определить оптимальную траекторию управления , приводящую к оптимальной траектории состояния . Это требование выражается целевым функционалом (когда аргументы функции сами являются функциями):

,

где - начальный, а - конечный момент времени периода управления , а - терминальный член. Необходимо также уравнение движения, связывающее между собой функции состояния и управления :

.

Таким образом, в приведенной задаче оптимального управления требуется выбрать в качестве решения такую функцию , определяющую запасы ресурсов в любой момент времени периода управления, которая бы позволила максимизировать функцию валового продукта также в любой момент времени периода управления.

Приведенная выше задача оптимизации является статической, т.е. ее решение отражает состояние в определенный момент времени, а задача оптимального управления - динамической, т.е. ее решение соответствует процессу в определенный период времени. Вот почему и вид решений у них разный: решение задачи оптимизации - численные значения, решение задачи оптимального управления - функции от времени.

Рассмотренная выше (1.3) межотраслевая (межпродуктовая) балансовая модель является статической, т.е. такой, в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени. Эта модель может разрабатываться лишь для отдельно взятых периодов, причем в ее рамках на устанавливается связь с предыдущими и последующими периодами. Следовательно, в статических межотраслевых (межпродуктовых) моделях не могут анализироваться распределение, накопление и эффективное потребление капитальных вложений. Капиталовложения вынесены из сферы производства в сферу конечного использования вместе с предметами потребления и непроизводственными затратами, т.е. включены в конечный продукт.

В отличие от статических динамические модели призваны отразить не состояние, а процесс развития экономики, установить непосредственную взаимосвязь между предыдущими и последующими этапами развития и тем самым приблизить анализ к реальным условиям развития экономической системы.

Рассмотрим динамическую модель, являющуюся развитием статической межотраслевой (межпродуктовой) модели, в которой производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной продукции, исследуются их структура и влияние на рост объема производства [17].

Вернемся к балансовому соотношению распределения продукции (1.3) модели межотраслевого баланса - межпродуктовому балансу:

,

или

, .

В этом статистическом балансе потоки капиталовложений не дифференцируются по отраслям-потребителям и отражаются общей величиной в составе конечной продукции каждой -ой отрасли. В динамической схеме распределим конечный продукт на валовые капитальные вложения и непроизводственное потребление (2.4):

.

Валовые капитальные вложения -ой отрасли представим межотраслевыми потоками капитальных вложений:

,

где - количество продукции -ой отрасли, направленное в текущем периоде в -ую отрасль в качестве производственных капитальных вложений в ее основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и др.

В отличие от потоков текущих затрат ( ) межотраслевые потоки капитальных вложений связаны не со всей величиной выпуска продукции в -ой отрасли, а обусловливают прирост продукции .

Причем допущений о том, что в рассматриваемой модели прирост продукции текущего периода обусловлен вложениями, произведенными в этом же периоде. Если текущий период обозначить через , то прирост продукции равен разности абсолютных уровней производства в период и в предыдущий ( )-ый период:

.

Полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать:

; .

Здесь пропорциональность выражают коэффициенты:

; .

Экономический смысл этих коэффициентов заключается в том, что они показывают, какое количество продукции -ой отрасли должно быть вложено в -ую отрасль для увеличения производственной мощности этой отрасли на единицу продукции. Предполагается, что производственные мощности используются полностью и прирост продукции равен приросту мощности. Коэффициенты называются коэффициентами вложений (приростной фондоемкости).

Используя полученные зависимости, преобразуем систему уравнений распределения продукции модели межотраслевого баланса – межпродуктовый баланс:

, ;

, ;

, .

Полученная система представляет собой систему линейных разностных уравнений первого порядка. Ее можно привести к обычной системе линейных уравнений, если учесть, что все объемы валовой и конечной продукций относятся к некоторому периоду , а прирост валовой продукции определен в сравнении с ( )-ым периодом:

, .

Отсюда, можно записать следующие соотношения:

, .

Пусть нам известны уровни валовой продукции , , всех отраслей в предыдущем ( )-ом периоде и непроизводственное потребление , , в -ом периоде. Тогда очевидно, что полученные соотношения представляют собой систему линейных уравнений с неизвестными уровнями производства ( ) в -ом периоде. Таким образом, решение такой системы линейных уравнений позволяет определить выпуск продукции в последующем периоде в зависимости от уровня, достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами устанавливается через коэффициенты вложений , характеризующие фондоемкость единицы прироста продукции.

Переходя от дискретного анализа к непрерывному, будем иметь в пределе:

, .

Полученные соотношения представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Для ее решения помимо коэффициентов прямых затрат и коэффициентов вложений (капитальных затрат) необходимо знать уровни валового выпуска ( ) в начальный момент времени и закон изменения величины непроизводственного потребления, т.е. вида функции . На основе этих данных путем решения получившейся задачи Коши для приведенной системы дифференциальных уравнений можно найти уровни валового выпуска теоретически для любого момента времени.

 

Вопросы для самопроверки

 

Какие две главные подсистемы включает экономика?

Какие действия реализует экономическая система при выполнении своей основной функции?

Что составляют средства производства?

Как называется совокупность конечного продукта и производственного потребления?

С помощью какого коэффициента определяют производственное потребление?

Что представляют собой в совокупности валовые капитальные вложения и непроизводственное потребление?

Чем устанавливается доля конечного продукта, определяющая объем валовых капитальных вложений?

На какие составные части разделяются валовые капитальные вложения?

Как определяется величина амортизационных отчислений?

Какой зависимостью описываются чистые капитальные вложения и прирост основных производственных фондов?

Как описывается прирост валового продукта через валовые капитальные вложения?

Чем отличается задача оптимального управления от задачи оптимизации?

Как называется уравнение, связывающее между собой функции состояния и управления?

Какой зависимостью определяются коэффициенты вложений (приростной фондоемкости)?