 |
|
МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ЭКОНОМИКЕ
Задача оптимального управления развитием
Экономики
Предлагается оценивать развитие экономики объемом валового продукта 
.
Чем больше будет валового продукта , судя по производственно-технологической схеме экономики (см. рис. 2.7), тем больше его пойдет на производственное потребление 
, тем больше будет конечного продукта 
, а следовательно, увеличатся и непроизводственное потребление 
, и валовые капитальные вложения 
. Последнее будет способствовать через чистые капитальные вложения 
росту ОПФ и, в итоге, опять-таки валового продукта .
Воспользуемся приведенными (2.4) соотношениями для представления зависимостей валового продукта .
Валовый продукт разделяется на производственное потребление и конечный продукт :
.
Производственное потребление выражается через валовый продукт с помощью коэффициента прямых материальных затрат 
:
.
Тогда
.
Конечный продукт разделяется на валовые капитальные вложения и непроизводственное потребление :
.
Подставляя это выражение, получаем:
.
Для упрощения будем рассматривать так называемую открытую модель Леонтьева, в которой не учитываются амортизационные отчисления 
, составляющие совместно с чистыми капитальными вложениями валовые капитальные вложения :
.
Тогда валовые капитальные вложения пропорциональны приросту валового продукта с коэффициентом приростной фондоемкости 
:
.
Подставляя эту зависимость, получаем:
.
После элементарных преобразований итоговое выражение примет вид дифференциального уравнения:
.
В этом уравнении устанавливается связь во времени 
между валовым продуктом как функцией времени 
и непроизводственным потреблением также как функцией времени 
.
Если функция валового продукта устанавливает состояние развития экономики, то тогда функция непроизводственного потребления может служить управлением развития экономики.
Исходя из этого, может быть сформулирована постановка задачи оптимального управления развитием экономики.
Суть этой задачи сводится к тому, что необходимо выбрать вид функции непроизводственного потребления , устанавливающей его объем в каждый момент времени, которая бы определяла вид функции валового продукта , характеризующей развитие экономики. Указанный выбор должен соответствовать критерию оптимальности управления развитием экономики.
Установим промежуток времени (период) управления от начального момента времени 
по конечный момент времени 
:
.
Будем характеризовать состояние функцией валового продукта , а управление - функцией непроизводственного потребления .
Зададим начальное состояние валового продукта 
и пределы возможного управления непроизводственным потреблением:
.
Используя результаты предыдущих рассуждений, опишем связь состояния и управления так называемым уравнением движений:
.
В качестве критерия оптимальности состояния за счет использования оптимального управления выберем следующий максимизируемый показатель:
.
По существу это целевая функция задачи оптимизации, аргументами которой служат функции состояния - валового продукта и управления - непроизводственного потребления . Поэтому она называется целевым функционалом.
Целевой функционал включает два слагаемых. Первое слагаемое состоит из суммарного (интеграл) дисконтированного непроизводственного потребления за весь период управления:
.
В этом слагаемом 
- взвешиваемая функция дисконтирования с коэффициентом дисконтирования 
.
Второе слагаемое, называемое терминальным членом целевого функционала, состоит из величины объема выпуска валового продукта 
в конечный момент времени периода управления.
Весовые коэффициенты 
и 
определяют приоритеты непроизводственного потребления и валового продукта:
.
Целевой функционал выражается числовым значением, которое максимизируется за счет выбора соответствующего вида функции управления - непроизводственного потребления и получаемого при этом с помощью уравнения движения вида функции состояния - валового продукта .
Таким образом, постановка задачи оптимального управления развитием экономики сводится к установлению периода управления (начального и конечного моментов времени), к определению, что будет являться состоянием (валовый продукт) и управлением (непроизводственное потребление), к заданию начального состояния (объема валового продукта в начальный момент времени периода управления) и пределов изменения управления (минимального и максимального объемов непроизводственного потребления), к аналитическому описанию связи (уравнения движения) состояния (валового продукта) и управления (непроизводственного потребления), и наконец, к выбору показателя оптимальности (целевого функционала).
Поставленная задача оптимального управления развитием экономики является математической моделью развития экономики.