Спектральное представление сигналов
При анализе процессов прохождения сигналов через тракт радиотехнических устройств используют параметр ширина спектра сигнала – диапазон частот, в пределах которого сосредоточена определенная доля энергии сигнала. Ширину спектра сигнала определяет распределение амплитуд отдельных гармонических составляющих в его спектральной характеристике. Этот параметр сигнала позволяет определить полосу пропускания радиотехнического устройства, обеспечивающую на его выходе минимальные искажения сигнала. На практике полоса пропускания определяется не всем спектром сигнала, а той его частью, в которой сосредоточена наибольшая часть энергии сигнала. 1.3.1. Спектр периодических сигналов. Из математического анализа известно, что периодическую функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле, можно разложить в ряд Фурье. Поэтому любой сложный, физически реализуемый, периодический сигнал с периодом Т можно представить в виде бесконечного набора гармонических составляющих, частоты которых кратны частоте : , (1.1) . (1.2) Для удобства анализа спектры таких сигналов представляют рядами Фурье, имеющими вид . (1.3)
Здесь амплитуда и начальная фаза n-й гармоники соответственно равны , . (1.4) Из (1.3) видно, что спектр периодического сигнала является дискретным. Он содержит постоянную составляющую величиной , основную (первую) гармонику с частотой и высшие гармоники с частотами, кратными частоте .Для наглядности часто зависимость амплитуд и начальных фаз от частоты изображают в виде графиков, которые называются амплитудным и фазовым спектром или амплитудной и фазовой спектральной диаграммами. В теории радиотехнических сигналов широко используется комплексная форма ряда Фурье, которая получается из (1.1) заменой гармонических функций косинуса и синуса по формулам Эйлера экспоненциальными функциями мнимого аргумента: . (1.5)
Здесь коэффициент – комплексная амплитуда n-й гармоники, которая при положительных и отрицательных значениях индекса n определяется соотношениями , (1.6) . (1.7)
При отрицательных значениях индекса n комплексная форма ряда Фурье порождает понятие отрицательной частоты.
1.3.2. Спектр непериодических сигналов.Спектральное представление непериодического сигнала получим следующим образом: выражение (1.7) для коэффициента подставим в (1.5) и устремим период T в бесконечность. При и суммирование по n заменится интегрированием по . В результате получим:
, (1.8)
где – спектральная плотность, непрерывная комплексная функция, модуль которой определяет спектральную плотность амплитуд, а аргумент – спектральную плотность начальных фаз. Из (1.8) следует, что спектральная плотность определяется прямым преобразованием Фурье непериодического сигнала , (1.9)
а сам сигнал по его спектральной плотности определяется обратным преобразованием Фурье . (1.10)
Поскольку спектральная плотность – непрерывная функция, то спектр непериодических сигналов называют непрерывным. Пример 1. Найдем спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов с амплитудой А, длительностью импульсов и периодом следования импульсов . Для определения комплексных амплитуд гармоник воспользуемся соотношением (1.7). Выбрав положение импульса, симметричное относительно , и выполнив интегрирование по периоду в пределах , находим амплитуду -той гармоники:
,
которая в данном случае является вещественной. Спектральное представление периодической последовательности прямоугольных импульсов имеет вид:
.
На рис. 1.1 показан спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов для случая А=1 при скважности импульсов . Рис. 1.1. Спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов Пример 2. Найдем спектр одиночного прямоугольного импульса с амплитудой А и длительностью импульса . Для определения спектральной плотности импульса воспользуемся формулой (1.9). Выбираем положение импульса симметричное относительно . Выполнив интегрирование в пределах , получим: .
График спектральной плотности одиночного импульса при А=1 и =1 приведен на рис. 1.2. Из этого графика видно, что в пределах главного лепестка
Рис. 1.2. Спектральная плотность одиночного импульса при А=1 и =1
сосредоточена значительная доля энергии сигнала (более 90%). Граничная частота главного лепестка ω01 определяется формулой
ω01 =2π/ τ. Из неё следует, что чем короче импульс, тем шире его спектр. На практике ширину полосы пропускания Δω выбирают приближенным соотношением Δω= (2÷3) ω01.
2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|