Главная | Обратная связь

Построение экономико-математической модели

Рассмотри построение модели на следующем примере:

Коммерческому отделу поручили проанализировать совместную деятельность подразделений фирмы по изготовлению и продаже двух видов продукции, которая поступила в продажу по цене 3 тыс.тг и 2 тыс.тг. Для производства продукции используют два вида сырья А и В, максимально возможные суточные запасы которых составили 6 т и 8 т. Расходы сырья на производство 1 т. продукции приведены в табл. 1

Изучение конъюнктуры спроса на рынке сбыта показало, что суточный спрос на вторую продукцию никогда не превышал спрос на первую более чем на 1,5 т, а спрос на вторую продукцию никогда не превышал 2 т в сутки. Какое количество продукции каждого вида необходимо производить фирме, чтобы доход от ее реализации был максимальным?

 

Таблица 1

 

Сырье	Расход сырья на ед. продукции	Запасы сырья, т
продукция х1	продукция х2
А
В
Цена 1 т, тыс.тг

 

1 Введем обозначения переменных задач: суточные объемы производства первой продукции х₁ и вторую х₂ тонн соответственно.

2 Целевая функция будет иметь вид: F(X) = (2х₁ +3х₂) mах.

3 Ограничения: можно записать следующим образом:

4 х₁ +2х₂ <=62х₁ + х₂ <= 8

х₂ – х₁<=1,5

х₂ <= 2

х₁>=0,25

х₂ >= 0,5

Определить суточные объемы производства продукции х₁ и х₂ обеспечивающие заданными условиями- ограничениями и максимально возможный доход от продажи продукции в соответствии с целевой функцией

Полученная модель является задачей линейного программирования, так как все входящие в нее функции линейны. Решение данной задачи возможно с использованием геометрического метода.

Решение.Построим на плоскости Х₁ОХ₂ многоугольник допустимых решений задачи. Для этого в неравенствах системы ограничений знаки неравенств заменим на знаки точных равенств:

 

Х₁ + 2х₂ <= 6 х₁ + 2х₂ = 6

2х₁ + х₂ <= 8 2х₁ + х₂= 8

х₂ – х₁<=1,5 х₂ – х₁ =1,5

х₁>=0,25 х₁ =0,25

х₂ >= 0,5 х₂ = 0,5

F(X) = (2х₁ +3х₂) F(X) = (2х₁ +3х₂) = 0

 

Построив полученные граничные прямые, найдем соответствующие полуплоскости допустимых значений переменных и их пересечение (рис. 3.6).

Направление стрелок от каждой граничной прямой определяется путем непосредственной подстановки в неравенство координат произвольно взятой точки, например (1;1), и при удовлетворении данного неравенства направляем стрелки в сторону контрольной точки, в противном случае - наоборот. Полученное пространство решений есть многоугольник АВNДЕK. Угловые точки многоугольника решений имеют следующие координаты: А(0,25;0,5), В(0,25; 1,75), N(0,5;2), Д(2,2), Е(3,3;1,3), K(3,75;0,5).

Для нахождения минимума и максимума целевой функции строим начальную прямую и вектор ОСсС(2;3). Координатами вектора является ОС является коэффициенты целевой функции при переменных. Для построения графика функции задаем произвольное значение F(Х). Если F = 0, то прямая проходит через начало координат и перпендикулярна векторуОС.

Построенную прямую F=0 перемещаем параллельно самой себе в направлении и противоположном направлении вектора ОСдо тех пор, пока она не коснется последней крайней (угловой) точки многоугольника решений. Координаты указанной точки является точкой максимума или минимума.

 

Рис. 1

По графику точкой минимума является точка А с координатами х₁=0,25 и х₂=0,5. Затем определяем минимальное значение

F(А)_min = 2 *0.25 + 3* 0,5 = 2.

Максимальное значение F(Х) будет в точке Е. Так как точка Е получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то для определения ее координат решим систему уравнений:

х₁+ 2х₂=6

2х₁ + х₂ = 8

х₁=3,3

х₂= 1,3

Тогда максимальное значение

F_max(Е)= 2* 3,3 + 3* 1,3= 10,7

Таким образом, суточной объем производства первой продукции должен быть равен 3,3 т, а второй - 1,3 т. Доход от продажи в этом случае будет максимальным и составит 10,7 тыс.тг.

Выполните решение указанной задачи поданному алгоритму в Excel.

В результате должны быть выполнены построения:

 

Расчеты по процентам