Главная | Обратная связь

Властивості імовірності.

1. Для кожної події А поле S:Р(А)≥0

2. Для достовірної події U:P(U)=1

3. Якщо подія А підрозділяється на частинні випадки В і С, і А є S,В є S,С є S, то

Р(А)=Р(S)+Р(С)(теорема додавання ймовірностей)

4. Імовірність події , протилежній події А, рівна Р( )=1–Р(А)

Дійсно:P(U)=P(А+ )=Р(А)+Р( )=1

5. Імовірність неможливої події дорівнює нулю P(U+V)=Р(n)=1;P(U)+Р(V)=Р(U)=>P(V)=0

6. Якщо , то Р(А)=Р(В)

7. Імовірність будь-якої події 0≤P(A)≤1

Доведемо властивість 3.

Нехай події В сприяє m`, а події С – m`` подій Е<sub>і</sub> групи 6. Так як події В і С по припущенню несумісні, то події Е<sub>і</sub> , сприятливих другому. Таким чином, всього маємо m`+ m`` події Е_і , сприятливих появі однієї із подій В або С, тобто сприятливих події В+С=А. звідси

Приклади:

1. Із колоди карт(36) навмання виймаються три карти. Знайти імовірність того, що серед них буде рівно один туз.

n= – всіх можливих подій

m=

p= = =0.2778

2. Із колоди карт(36) навмання виймаються три карти. Знайти імовірність того, що серед них знайдеться хоча б один туз

а)Р≥1=Р₁ +Р₂ +Р₃= =0.2778+0.0269+0.0006=0.3053

б)Р≥1=1–Р_<1 =1–P₀ = =1–0.695=0.305

тут використано те, що Р(А)=1–Р(А)

3. Колоду карт(36) навмання розділяють на дві рівні частини. Чому дорівнює імовірність, що в обох частинах буде по рівному числу червоних і чорних карт?

n= ;

m=

p= =0.26

(формула Стірлінга n!≈ )

4. Маємо n частинок, кожна із яких може знаходиться з однією і тією ж ймовірністю в кожній із N>n яке є k(комірок). Знайти ймовірність того, що:1)в визначених n комірках буде по одній частині; 2)в якихось n ячейках буде по одній частинці.

Ця задача із статистичної фізики. В залежності від розміщення n частинок в N комірках існують різні фізичні статистики: Больцтана, Бозе-Ейнштейна, Фермі-Дірака.

В статистиці Больцтана рівномірними вважаються будь-які гадані розподіли, які відрізняються не тільки числом, але й індивідуальністю частинок: в кожній ячейці може розміщатись будь-яке число частинок від 0 до n.

Загальне число можливих розподілів ми підрахуємо наступним чином: кожна частина може знаходитись в кожній із N комірок, тобто n частинок можна розподілити по ячейках Nⁿ різними способами.

В першому питанні число сприятливих випадків буде n!, а тому р₁ =

В другому питанні число сприятливих випадків буде в разів більше

Р₂ =

Лекція № 4