Главная | Обратная связь

Теореми про суму імовірностей несумісних подій

Сумою A+B двох подій A і B є подія, наслідком якої є подія A, або подія B, або обидві ці події.

Якщо A і B – несумісні події, то A+B – подія, наслідком якої є поява події A, або події B.

Сумою декількох подій є подія, наслідком якої є поява однієї з цих подій, або їх комбінація.

A+B+C A; B; C; A,C; B,C; A ,B ,C.

Приклад: Із гвинтівки зроблено 2 постріли. A – попадання в ціль після першого пострілу, B – після другого. Тоді A+B A; B; A ,B.

Теорема. Імовірність появи однієї з двох несумісних подій, рівна сумі імовірностей цих подій.

.

Доведення. Нехай n – загальна кількість елементарних наслідків випробування, – число наслідків, сприятливих A, – B.

Число елементарних наслідків, сприятливих появі A або B є . Отже,

.

Наслідок. .

Далі можна використати метод математичної індукції.

Приклад 1. В урні 30 кульок: 10 червоних, 5 синіх, 15 білих. Знайти імовірність появи кольорової кульки. Кольорова кулька – це червона або синя. A – поява червоної кулі, B – синьої кулі.

, .

Події A та B – несумісні, тому

.

Приклад 2. Стрілець стріляє по мішені, розділеної на 3 області. Імовірність попадання в першу область – 0,45, в другу – 0,35. Знайти імовірність попадання або в першу, або в другу область.

Події A(попадання в першу область) і B – несумісні. Тому

.

 

Повна група подій

Теорема. Сума імовірностей подій , які складають повну групу, дорівнює 1.

.

так, як в дужках достовірна подія. Любі дві події повної групи несумісні. Тому

.

Протилежні події

Протилежними подіями називають дві єдино можливі події, які складають повну групу.

A і , A– попадання, – промах.

Теорема. Сума імовірностей протилежних подій дорівнює

Приклад. В ящику знаходиться n деталей, із яких m стандартні. Знайти імовірність того, що серед k навмання взятих деталей є хоча б одна стандартна.

A– є стандартні, – немає стандартних(всі нестандартні)

.

;

Прямий розв’язок:

 

імовірність імовірність імовірність

того,що буде того,що буде того,що буде

один два k

В задачі , інакше не існує в (1). Цікаво, що для існування (2) достатньо, щоб .

Можливо знайти імовірність і по формулі

 

нестандартна нестандартна нестандартна

при першому при другому при k-ому

вийманні вийманні вийманні

або по формулі .