 |
|
Найімовірніше число появ події в незалежних випробуваннях
Розглянемо два сусідні числа 
і 
. Може бути
або 
Але 
. 
. Тоді 
або 
.
Таким чином для всіх значень 
,
для 
(коли 
– ціле число) 
,
для 
.
Функція при зростає, а при – спадає.
Таким чином, якщо ( ) не ціле число, то маємо єдиний максимум
( 
– ціле число).
Якщо ж ( ) – ціле число, то маємо два максимуми
(= 
= 
= 
).
Приклад: Випробовується кожен із 15 елементів деякого пристрою. Імовірність того, що елемент витримає випробування, рівна 0,9. Знайти найімовірніше число елементів, які витримають випробування.
n=15; p=0.9; q=0.1
=15 
0,9 – 0,1=13,5 – 0,1=13,4;
=14,4;
13,4k 
14,4;
k=14.
Формула Пуасона
Якщо 
, а 
так, що 
є постійна величина, то
.
.
Наближені формули Пуасона використовуються коли , р близько до 0.
– це доводиться в теорії.
Приклад. В тісто засипають деяку кількість родзинок, потім всю масу перемішують, розрізають на рівні частини і випікають із них булочки з родзинками. Нехай N – число всіх булочок, а n – число всіх родзинок. Знайти ймовірність того, що у випадково вибраній булці буде рівно K родзинок
Розв’язування: n випробувань; А – подія (попадання родзинки в булку).
– ймовірність попадання ізюмини в булку.
– середнє число ізюмин на одну булку.
. Для λ=8 по таблицям знаходимо:
0,3% булок містить 1 родзинку, 1,1% – дві родзинки, ..., 13,9% – 8 родзинок і т.д.
Лекція 4
Випадкові величини
Означення: Випадковою називають величину, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне можливе значення, наперед невідоме і залежне від випадкових величин, які не можуть бути наперед враховані.
Приклад: Число народжених хлопчиків серед 100 новонароджених є випадкова величина і може приймати значення 0, 1, 2, ... , 100.
Приклад: Відстань, яку пролетить снаряд при пострілі із гармати є випадкова величина. Можливі значення належать деякому інтервалу (а, b).
Позначимо випадкові величина буквами X, Y, Z, ..., а їх можливі значення – x, y, z, …