 |
|
Розділ III.Многочлени над полем комплексних чисел і над полем дійсних чисел
Многочлени над полем комплексних чисел. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел.
Нехай 
- деякий многочлен над полем 
. Якщо 
, то існує розширення 
поля , в якому міститься деякий корінь многочлена .З цього твердження випливає, що для будь-якого многочлена 
степеня існує таке розширення 
поля , що можна подати в 
у вигляді добутку лінійних множників.
Поле 
називається полем розкладу многочлена , якщо розкладається в 
на лінійні множники. Поле , яке є полем розкладу будь-якого многочлена , називається алгебраїчно замкненим.
Теорема 1.Многочлен непарного степеня над полем 
дійсних чисел має принаймні один дійсний корінь.
Теорема 2. Кожний многочлен степеня 
з дійсними коефіцієнтами має принаймні один комплексний корінь.
Теорема 3. (Основна теорема теорії многочленів):
Довільний многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами 
має хоча б один комплексний корінь.
Теорема 4. Кожний многочлен, степінь якого вища за одиницю, звідний у полі комплексних чисел.
Наслідок. Для того, щоб многочлен був незвідним у полі комплексних чисел, необхідно і достатньо, щоб його степінь дорівнював 1.
Теорема 5. Кожний многочлен 
-го степеня у полі комплексних чисел єдиним чином (з точністю до порядку множників) розкладається на лінійні множники у цьому полі:
,
де 
- корені, 
- старший коефіцієнт .
Терема 6.Многочлен -го степеня у полі комплексних чисел має точно коренів.
Очевидно, що всі корені многочлена 
над полем комплексних чисел належать цьому ж полю, тобто полем розкладу будь-якого многочлена з комплексними коефіцієнтами є поле С (поле комплексних чисел ). Тому поле комплексних чисел є алгебраїчно замкненим і для коренів многочлена у полі С є справедливими формули Вієта:
..........................................
