Найпростіший потік викликів
Розподіл Пуассона Стаціонарний ординарний потік без післядії називається найпростішим (пуассонівський, потоком чистої випадковості І роду). Задається найпростіший потік сімейством імовірностей B інтервал [t+Δt] може потрапити і викликів в результаті однієї з таких незалежних подій: · за інтервал t надійде і викликів, а за інтервал Δt – 0 викликів, · або за інтервал t надійде (і-1) викликів, а за інтервал Δt – 1 · ... · за інтервал t надійде 0 викликів, а за інтервал Δt – і викликів: Тоді
де Оскільки спільно відбуваються дві незалежні події (через відсутність післядії імовірність надходження викликів в інтервалі часу Δt не залежить від числа викликів, що надійшли за часt), імовірність такої спільної події дорівнює добутку двох безумовних імовірностей
Рівняння (2.10) можна значно спростити, якщо врахувати умову ординарності (2.3)
Імовірність
а імовірність:
Підставимо вираз (2.12) і (2.13) у систему рівнянь (2.11), потім перенесемо в ліву частину рівнянь Pi(t+Δt) = Pi(t)*(1-λ*Δt)+ Pi-1(t)* λ*Δt+O(Δt) Pi(t+Δt) = Pi(t) - Pi(t) λ*Δt+ Pi-1(t)* λ*Δt+O(Δt) Pi(t+Δt) - Pi(t) = - λ Pi(t) *Δt+ λ Pi-1(t)*Δt+O(Δt) {Pi(t+Δt) - Pi(t)}/Δt = - λ Pi(t) + λ Pi-1(t)+O(Δt) Δt Переходячи до границі при
Початковими умовами для системи (2.14) є
Розв’язанням (2.14) з урахуванням умов (2.15) є формула (розподіл) Пуассона:
Цей вираз визначає імовірність надходження числа викликів i за час t. Крім того, можна обчислити: · імовірність Po(t) відсутності викликів потоку за час t: Po(t) = e-λt (2.17) · імовірність наявності викликів потоку за час t: P³1 (t)= 1 - e-λt (2.18) · імовірність наявності не більше k викликів потоку за час t:
· імовірність наявності не менше k викликів потоку за час t:
Приклад 2.1. Виклики найпростішого потоку надходять в середньому через 2 хв. Знайти : 1) імовірність надходження 2 викликів за 1 хв. 2) імовірність відсутності виклику за 2 хв. 3) імовірність надходження 3 викликів за 2 хв. Рішення Для того, щоб скористатися формулою Пуассона, потрібно знати параметр потоку l. Оскільки в найпростішому потоці параметр та інтенсивність співпадають і зворотно пропорційні середньому часу між віикликами, то: l = 1/z = 0,5 викл/хв 1) lt = 0,5; P2 = (0,5)2/2!*e-0,5 = 0,0758 2) lt = 1; P0 = e-1 = 0,3679 3) lt = 1; P3 = 13/3!*e-1 = 0,0613 Приклад 2.2. Для найпростішого потоку з параметром 30 викл/год знайти імовірність надходження 2 викликів за 2 хв., та не більше 3 викликів за 5 хв. Рішення Спочатку узгодимо одиниці виміру параметру та часових інтервалів: l = 30 викл/год = 0,5 викл/хв 1) lt = 0,5*2 = 1; P2 = 12/2!*e-1 = 0,18 2) lt = 2,5; P≤3 = P0 + P1 + P2+ P3 = e-2,5 + 2,5* e-2,5 +2,52/2* e-2,5 +2,53/6* e-2,5 = 0,76 ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|