 |
|
Розподіл інтервалу між викликами у найпростішому потоці
Вираз (2.16) є одним з можливих способів завдання найпростішого потоку. Іншим способом може служити розподіл інтервалу z між сусідніми викликами P(z<t). Визначимо P(z<t) через імовірність протилежної події:
P(z<t) = 1 – P(z>t) (2.21)
P(z>t) означає, що за час t не надійде жодного виклику.
P(z>t) = P0(t)
Тоді, обчислюючи P0(t) за формулою Пуассона,
P(z<t) = 1– P0(t)= 1 – e -λt (2.22)
Диференціюємо (2.22) по t, знаходимо щільність розподілу
p(t) =l e-lt (2.23)
Закон розподілу із щільністю (2.23) називається експоненціальним, а l - його параметром. Основною властивістю цього закону є наступна: якщо інтервал, розподілений за експоненціальним законом з параметром l, вже тривав якийсь час τ, то його залишок також розподілений за експоненціальним законом з тим же параметром l і не залежить від τ.
Доведемо це. Припустимо, що з моменту надходження останнього виклику пройшов час τ і визначимо імовірність того, що до надходження наступного виклику пройде не менше t одиниць часу.
За теоремою множення імовірність того, що одночасно відбудуться дві залежні події, дорівнює добутку імовірності першої події на умовну імовірність другої, обчислену при умові, що перша подія мала місце.
P(z > τ + t) = P(z > τ) * Pτ(z > t)
P0(τ + t) = P0(τ) * Pτ(z > t)
e-l(τ+t) = e-l(τ) * Pτ(z > t)
Pτ(z > t) = e-l(τ+t)/ e-l(τ) = e-lt (2.24)
Тобто, умовна імовірність надходження виклику потоку через t одиниць часу, обчислена при умові, що з моменту надходження останнього виклику пройшов час τ, Pτ(z > t) не залежить від τ і дорівнює безумовній:
Pτ(z > t) = P(z > t) = e-lt
Це свідчить, що експоненціальний закон є математичним вираженням властивості відсутності післядії.
Визначимо математичне очікування, дисперсію і середньоквадратичне відхилення інтервалу z:
Таким чином,
Mz = sz = 1/λ (2.25)
Отриманий збіг величин Mz и sz характерний для експоненціального розподілу. Цю властивість також використовують на практиці для попередньої перевірки відповідності реального потоку моделі найпростішого.