Марківський ланцюг з безперервним часом. Система диференційних рівнянь Колмогорова
Якщо переходи системи з Sі в Sj можливі в довільний момент t маємо марківський ланцюг з безперервним часом. Поставимо задачу аналогічно дискретному випадку: знайти імовірності всіх станів системи для довільного моменту t: P1(t), P2(t),..., Pn(t). В цьому випадку задаються не імовірності переходу (оскільки точно не відомі моменти переходу), а щільність імовірності переходуlij – границя відношення імовірності переходу системи за елементарний інтервал Dt з Sі в Sj , якщо система в момент t знаходиться у стані Sі , до довжини цього інтервалу: (4.5) З (4.5) при невеликих Dt з точністю до безкінечно малої випливає: Pij(Dt) = lij (t)*Dt (4.6) Якщо всі lij (t)= const (не залежать від t), маємо однорідний марківський ланцюг, інакше – неоднорідний. Якщо нам відомі щільності імовірностей переходу lij для усіх пар (Sі, Sj)(задано розмічений граф станів), то імовірності станів P1(t), P2(t),..., Pn(t) є функціями часу, що задовольняють системі диференційних рівнянь (СДР) Колмогорова. Виведемо СДР на прикладі системи, зображеної на рис. 4.3: Рисунок 4.3 Нехай стан системи в момент t невідомий, дамо t приріст Dt і знайдемо імовірність того, що система в момент t +Dt знаходиться в стані S1 , тобто P1(t +Dt). При цьому враховуємоумову нормування: для будь-якого моменту часу t сума усіх імовірностей станів дорівнює 1: (4.7) Тоді імовірність переходу між станами за Dt обчислюється за (4.6), а імовірність того, що система не перейде за цей час в інший стан, витікає з (4.7) і дорівнює (1 – сума усіх імовірностей переходу). З рисунку 4.3 видно, що система в момент t +Dt може бути в стані S1 в результаті двох незалежних подій: система була в S1 в момент t і не здійснила ніякого переходу за Dt або була в стані S3 іздійснила за Dt перехід у S1: P1(t +Dt) = P1(t)*(1-l12Dt)+ P3(t)*l31Dt = P1(t) - P1(t)*l12Dt + P3(t)*l31Dt Здійснимо деякі елементарні перетворення: P1(t +Dt) - P1(t) = - P1(t)*l12Dt + P3(t)*l31Dt {P1(t +Dt) - P1(t)}/Dt = - P1(t)*l12 + P3(t)*l31 = - P1(t)*l12 + P3(t)*l31 d P1(t)/dt = - l12P1(t) + l31P3(t) Аналогічні рівняння можна вивести для інших станів системи: d P1(t)/dt = - l12P1(t) + l31P3(t) d P2(t)/dt = - l23P2(t) - l24P2(t) + l12P1(t) + l42P4(t) (4.8) d P3(t)/dt = - l31P3(t) - l34P3(t) + l23P2(t) d P4(t)/dt = - l42P4(t) + l24P2(t) + l34P3(t) Інтегрування дає нам потрібні імовірності як функції часу. Початкові умови беруться з початкового стану системи. Якщо при t=0 система знаходиться в S1, то P1(0) = 1, P2(0) = 0, P3(0) = 0, P4(0) = 0 З (4.8) витікає загальне правило запису СДР Колмогорова:
Ліва частина кожного рівняння – похідна відповідної імовірності стану за часом; права частина має стільки доданків, скільки стрілок пов’язано з цим станом. Кожний доданок дорівнює добутку щільності переходу по стрілці на імовірність того стану, з якого виходить стрілка, і береться з “+” або “-” залежно від напрямку стрілки. Приклад 4.2.
Задано розмічений граф станів системи (рис. 4.4). Записати СДР Колмогорова, якщо відомо, що система в початковий момент часу знаходиться в стані S1. Рисунок 4.4
СДР Колмогорова для такої системи має вигляд: dP1(t)/dt = -l12P1(t) -l13P1(t) dP2(t)/dt = l32P3(t) + l12P1(t) dP3(t)/dt = l13P1(t) + l53P5(t) - l32P1(t) -l34P3(t) dP4(t)/dt = l34P3(t) - l45P4(t) dP5(t)/dt = l45P4(t) - l53P5(t) Початкові умови (враховуючи, що в початковий момент часу система знаходиться в стані S1): P1(0) = 1, P2(0) = 0, P3(0) = 0, P4(0) = 0, P5(0) = 0 ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|