 |
|
Система M/M/V/L. Перший розподіл Ерланга
Розглядається наступна модель: на вхід v-канальної системи з явними втратами надходить найпростіший потік викликів з параметром l. Час обслуговування викликів – випадкова величина, розподілена за експоненціальним законом, з середнім часом обслуговування, прийнятим за 1 умовну одиницю часу (h = 1 у.о.ч.) В цьому разі можна параметр потоку, виражений у викликах за 1 умовну одиницю часу, трактувати як інтенсивність навантаження, що надходить в систему:
L = l* h, Ерл
Виклик, що надійшов в систему в момент зайнятості усіх каналів, отримує відмову і втрачається для системи.
Поставимо задачу:
знайти імовірності зайнятості будь-якого числа каналів системи.
Розглянемо всі можливі стани системи і переходи між ними. За стан системи приймемо кількість зайнятих каналів і = 0, 1,…v. Переходи в системі здійснюються під впливом надходження потоку викликів з постійною інтенсивністю L (кількість зайнятих каналів збільшується) та закінчення їх обслуговування (кількість зайнятих каналів зменшується). Оскільки (п. 2.8) інтенсивність потоку звільнень mзв =і/h, а ми прийняли h = 1 у.о.ч., то зворотні переходи в системі здійснюються з інтенсивністю, рівною кількості зайнятих каналів і. Граф станів системи має вигляд (рис.5.1):
Рисунок 5.1 Граф станів системи з втратами
В даній системі діють найпростіший та примітивний (з простою післядією) потоки, таким чином випадковий процес, що відбувається в системі, являє собою марківський ланцюг з безперервним часом (п. 4.2). Крім того, в системі існує усталений режим (п.4.3). Отже можна записувати рівняння для граничних імовірностей.
Для стану S0
L*P0 = 1* P1 Þ P1 = L/1* P0
Для стану S1
L*P0 + 2* P2 = (1 + L)*P1
L*P0 + 2* P2 = 1* P1 + L*P1
Скорочуючи на рівні складові з попереднього рівняння, отримуємо
2* P2= L*P1 Þ P2 = L/2* P1 = L2/2!* P0
Для стану Sі
L*Pі-1 + (і+1)* Pі+1 = (і + L)*Pі
(і+1)* Pі+1 = L*Pі (5.1)
Після відповідних перетворень:
Pі = L/і* Pі-1 = Lі/і!* P0 (5.2)
Підставляючи (5.2) в умову нормування для цієї системи, яка має вид
P0 + P1+ P2 + ... + Pv = 1,
отримуємо:
P0 + L/1* P0 + L2/2!* P0 +… + Lv/v!* P0 = 1
P0 *[1 + L/1 + L2/2! +… + Lv/v!] = 1
P0 = 1/[1 + L/1 + L2/2! +… + Lv/v!] = 
(5.3)
Підставляючи (5.3) в (5.2), отримуємо:
(5.4)
Формула (5.4) дає перший розподіл Ерланга.
Приклад 5.1.
Для системи М/М/3/L обчислити імовірності усіх станів системи при інтенсивності вхідного потоку 5 викл/хв і середньому часі обслуговування 24 с.
Рішення
Граф станів системи зображений на рис. 5.2.
Рисунок 5.2
Інтенсивність навантаження, що надходить:
L = l* h = 5*24/60 = 5*2/5 = 2 (Ерл)
Імовірності станів обчислюємо за першим розподілом Ерланга (5.4):
P0 = 1/[1 + L/1 + L2/2! + L3/3!] = 1/(1+2+2+8/6) = 3/19 = 0,158
P1= 2/[1 + L/1 + L2/2! + L3/3!] = 2/(1+2+2+8/6) = 6/19 = 0,316
P2= 22/2!/[1 + L/1 + L2/2! + L3/3!] = 2/(1+2+2+8/6) = 6/19 = 0,316
P3= 23/3!/[1 + L/1 + L2/2! + L3/3!] = 4*3/(1+2+2+8/6)*3 = 4/19 = 0,316
Перевірка:
P0 + P1 + P2 + P3= 3/19 + 6/19 + 6/19 + 4/19 = 19/19 = 1
Графік розподілу приведено на рисунку 5.3.
Рисунок 5.3.
Отриманий збіг значень P2 і P3 – не випадковість. Перший розподіл Ерланга має такі максимуми:
1. Якщо L > v, то максимум один: Pmax = Pv .Дійсно, якщо навантаження, що надходить в систему, виміряне в ерлангах, перевищує кількість каналів, то максимальну імовірність буде мати стан зайнятості усіх каналів.
2. Якщо L £ v, то залежно від того, ціле чи дробове L, максимумів два або один:
a. при L цілому маємо 2 максимуми Pmax1 = L , Pmax2 = L-1
b. при L дробовому маємо 1 максимум Pmax = [L]
Приклад 5.2
Яку кількість каналів зайнято з максимальною імовірністю в системі M/M/3/L, якщо виклики надходять у систему, в середньому, через 10 с і обслуговуються, в середньому, 20 с?
Рішення:
Максимуми першого розподілу Ерланга залежать від L:
L= l*h = (1/z)*h = h/z = 20/10 = 2 (Ерл)
Відповідь: з максимальною імовірністю (найчастіше) в такій системі зайнято 2 або 1 канал.