 |
|
Передаточные функции САР и их элементарных звеньев
Любая линейная система автоматического регулирования может быть описана линейным дифференциальным уравнением, связывающим воздействие с откликом.
,
где X(t) – входной сигнал (воздействие)
Y(t) – выходной сигнал (отклик)
ai, bi – постоянные коэффициенты, определяемые параметрами САР.
В операторной форме это уравнение может быть представлено как:
,
p – оператор дифференцирования.
Зная параметры системы (ai, bi), воздействие Z, и решая неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, можно определить отклик Y.
В этом случае заключается классический метод анализа САР.
Однако этот метод сложен и поэтому в теории автоматического регулирования используется понятие передаточной функции системы равное отношению изображения по Лапласу выходной величины Y(p) к изображению по Лапласу воздействия X(p) при нулевых начальных условиях.
Для всех реально существующих систем, порядок номинала числителя m не превышает порядок знаменателя n, т.е.
m < n
Из определения передаточной функции следует методика определения отклика
Передаточная функция K(p) позволяет определить частотные характеристики САР. Для этого от преобразования по Лапласу необходимо перейти к преобразованию по Фурье входного X(t) и выходного Y(t) сигналов:
,
.
Эти преобразования обратимые, т.е.:
.
При этом получается комплексный коэффициент передачи САР.
На практике легко осуществить переход от преобразования по Лапласу к преобразованию по Фурье и, наоборот, путем формальной замены p=jω или наоборот.
K(jω) – комплексная функция, которая может быть представлена в виде:
,
где K(ω) = |K(jω)|– модуль номинала коэффициента передачи.
Графическое изображение зависимости K(ω) от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) (рисунок 9).
АЧХ САР характеризует зависимость амплитуды отклика Y(t) от частоты гармоничного воздействия X(t)
при постоянной амплитуде X = const воздействия.
φ(ω) = arg K(jω) – аргумент K(jω).
Графическое изображение зависимости φ(ω) от частоты ω – называется фазочастотной характеристикой (ФЧХ) САР (рисунок 10)
φ(ω) = φвых(ω) – φ0
ФЧХ характеризует зависимость величины фазового сдвига между выходами и входом от частоты воздействия.
Рисунок 9
Рисунок 10
Все характеристики могут быть получены экспериментально.
Комплексный коэффициент передачи K(jω) может быть представлен в алгебраической форме:
| P(ω) – вещественная Q(ω) – мнимая |  Частотные характеристики
|
Очевидно, что
,
.
Если изменять частоту воздействия ω от 0 до ∞ то получится полная характеристика звена в виде комплексной функции K(jω). Эту функцию можно представить вектором 
на комплексной плоскости.
Геометрическое место конца вектора ККП при изменении частоты от 0 до ∞ называется амплитудно-фазовой характеристикой звена или годографом вектора КПП (рисунок 11).
Рисунок 11
Годограф может быть построен на основании экспериментальных данных.
При анализе САР часто обращаются к логарифмическим частотным характеристикам, которые в значительной степени сокращают объем вычислительной работы.
При использовании логарифмических АЧХ по оси координат откладывают усиление, измеряемое в ДБ (децибелах) и вычисляемое по формуле:
.
Децибел является единицей логарифмической относительной величины.
Изменение величины в 10 раз 
20 дБ.
Белл представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному изменению мощности.
Децибел соответствует одной десятой бела.
Так как K(jω) представляет собой отношение не мощностей, а напряжений, то увеличение этого отношения в 10 раз будет соответствовать увеличению мощностей в 100 раз, что соответствует двум белам или 20 децибелам (множитель 20).
Для построения логарифмических характеристик используется стандартная сетка. По оси абсцисс откладывают угловую частоту в логарифмическом масштабе (lg ω).
Следует учесть, что ω=0, соответствует lg0=-∞.
По оси ординат откладывают модуль в дБ.
На ней наносят равномерный масштаб.
Частотные характеристики звеньев САР позволяют судить о том, как передается через это звено гармоническое воздействие с данной частотой.