Передаточные функции САР

При исследовании САР в рассмотрение наряду с гармоническими вводят некоторые типовые воздействия, анализ реакции на которые позволяет определить реакцию на произвольное воздействие.

К числу типовых воздействий относят единичное ступенчатое воздействие, называемое так же функцией включения (Хэвисайда).

а так же дельта-функцию или функцию Дирака, удовлетворяющую условию:

Эта функция может быть получена в результате бесконечного сжатия по длительности импульса единичной площади при сохранении его площади.

Очевидно, что

С помощью этих функций легко представить сигнал произвольной формы (рисунок 12).

Рисунок 12

Если шаг устремить к 0, то дискретную переменную можно заменить непрерывной переменной , приращения дифференциалами,

Аналогичным образом для дельта функций:

Для анализа прохождения различных воздействий через линейные цепи вводится понятие системного оператора Т.

Например, для дифференцированного звена

Для стационарных линейных цепей справедливо:

т.е. изменение временного положения воздействия приводит только к изменению временного положения , а так же принцип суперпозиции:

Вводится понятие импульсной и переходящей характеристик цепей.

Импульсной характеристикой цепи называется функция , являющаяся откликом на воздействие в виде – функции, т.е.

Если система линейна и стационарна, то

Очевидно, что если

, то

для линейных операторов Т справедливо

Это отношение называется интегралом Дюамеля и позволяет определить отклик линейной САР на заданное воздействие.

Исходя из условия физической реализуемости звеньев – выходной сигнал не может возникнуть раньше воздействия, т.е. при ,

Физически реализуемая устойчивая САР обладает импульсной характеристикой, удовлетворяющей условию:

Переходной характеристикой САР – называется ее реакция на воздействие функции Хэвисайда – , т.е.:

Аналогично

тогда

Особый интерес представляют также воздействия, которые при прохождении через Сар не меняют своей формы, т.е.

Такая называется собственной функцией оператора Е, а – комплексное собственное значение оператора.

Для линейных цепей такой сигнал:

тогда

Отсюда собственным значением системного оператора Т является комплексное число

Называется частотным коэффициентом передачи системы.

Справедливо так же :

Отсюда вытекают временной, спектральный и операторный методы нахождения отклика САР на произвольное воздействие .

Временной метод анализа

1. Дается аналитическое описание воздействия .

2. Определяется импульсная .

3. Записывается интеграл Дюамеля…

Спектральный метод

1. Дается аналитическое описание воздействия .

2. Определяется спектральная плотность воздействия, т.е. находится его преобразование по Фурье (воздействие представляется в виде суперпозиции собственных функцией .

3. Определяется преобразование по Фурье для отклика

4. Находится временная функция отклика как

Операторный метод

Так как ,

то очевидно

где – передаточная функция ,

– преобразование по Лапласу от воздействия

– оригинал воздействия

– изображение по Лапласу воздействия.

Тогда

т.е. находится интегрированием на комплексной плоскости Р.

Для вычисления интеграла можно использовать таблицы или теорию вычетов, для этого представляем

– как отношение многочленов.

Затем находится полоса этого изображения, т.е. корни уравнения

Тогда в соответствии с теорией вычетов

где – число полюсов

– полюса

Типовые звенья САР

Безинерционное звено

Это звено описывается алгебраическим уравнением

Примером такого звена являются:

· механический редуктор

· широкополосный усилитель

· делитель напряжения, а так же многие датчики сигналов (потенциометрические, индукционные и т.д.).

Для безинерционного звена , а импульсная характеристика

Амплитудно-фазовая характеристика вырождается в точку на вещественной оси:

Безинерционное звено – идеализация реальных.

Апериодическое звено первого порядка

Это звено описывается дифференциальным уравнением:

Передаточная функция звена:

В качестве примеров таких звеньев могут быть:

а) двигатель (рисунок 13а) (электрический, гидравлический, пневматический), механические характеристики которого (зависимость вращающего момента от скорости) могут быть представлены в виде параллельных прямых.

Входной величиной является управляющее воздействие (напряжение, расход жидкости и т.д.)

Выходной величиной является скорость вращения

– момент инерции

б) электрический генератор постоянного тока (рисунок 13б) входной величиной является напряжение обмотки возбуждения, а выходной – напряжение на выходе генератора;