А). Мажорантный признак.

Пусть . Тогда:

*. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл ;

*. Если расходится интеграл , то расходится и интеграл .

D Пусть . Тогда (из свойств определенного интеграла). Перейдем к точной верхней границе для в правой и левой части неравенства:

. ▲

б). Асимптотическая форма мажорантного признака.Если из двух неотрицательных функций собственно интегрируемым по всем замкнутым промежуткам и одна ограничивает другую в окрестности особой точки: при , то

*. Если сходится, то и сходится;

*. Если расходится , то и расходится.

D Пусть в окрестности точки выполнено . Тогда и ограничена при . Значит . Значит :

Þ сходится Þ также сходится. ▲

В). Предельная форма мажорантного признака.

Если отношение двух неотрицательных функций, собственно интегрируемых на любом замкнутом промежутке , имеет конечный предел в особой точке, то два интеграла сходятся или расходятся одновременно.

Т.е. если , то из сходимости Þ сходимость , и из расходимости Þ расходимость . Если же , то

сходимость Û сходимости .

Г). Асимптотический признак одновременной сходимости – расходимости несобственных интегралов.

и с – одного порядка при . Тогда интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

D с – одного порядка при Þ . ▲

Д). Предельная форма признака одновременной сходимости – расходимости интегралов.

Если и , тогда и сходятся или расходятся одновременно.

Примеры.

1°. .При . Интеграл от мажорирующей функции сходится, следовательно исходный интеграл также сходится.

2°. ,а такой интегралнарасходится.

3°. .Вывод: исходный интеграл сходится при и расходится при .

4°. .Вывод: исходный интеграл сходится при и расходится при .

5°. .Особая точка . При и, следовательно, исходный интеграл сходится (см. 3°).

§. Условная сходимость.

Def:Если – сходится, но - расходится, то называется сходящимся условно.

Пример.Условно сходящиеся интегралы существуют. Рассмотрим . Особая точка у этого интеграла только . Точка особой точкой не является, т.к. подынтегральная функция в окрестности этой точки ограничена.

*. При после интегрирование по частям, получаем .

Интеграл, стоящий справа сходится, даже абсолютно т.к. . Однако не забывая о том, что абсолютная сходимость не инвариантна относительно интегрирования по частям, можем утверждать только, что исходный интеграл сходится.

*. Исследуем интеграл на на абсолютную сходимость.

. Первый из интегралов в правой части неравенства расходится, а второй сходится. Из этого можно заключить, что исходный интеграл является сходящимся но, при этом, не сходится абсолютно. Следовательно, интеграл является условно сходящимся интегралом.

§. ПризнакИ Абеля И Дирихле (для функций вида ).

Т°. Интеграл от произведения двух функций сходится, в общем случае, условно, если:

*. Абель: , монотонна и ограничена на ;

*. Дирихле: Для функции т.е. интегралы от по всем промежуткам, вложенным в ограничены в совокупности (т.е. имеет ограниченную первообразную) и монотонно стремится к 0 при .