Остаточный член формулы прямоугольников.
Вернемся, к промежутку xÎ[–a, a]. На этом промежутке, рассмотрим функцию . Функция F(a), обладает свойствами: 1) F(– a) = –F (a); 2) F¢(a) = f(–a) + f(a). Теперь вспомним: . Разность F(a) – S1 это и есть, по сути, ошибка, допущенная при вычислении интеграла. Разложим F(a) в ряд Тейлора в окрестности a = 0 с остаточным членом в интегральной форме: . Тогда: . В последнем переходе мы учли, что F(a) – нечетная функция и, следовательно F (0) = = F² (0) = 0. А теперь воспользуемся теоремой о среднем и свойством 2) функции F¢(a): . Здесь . Кроме того, использован факт, что, взвешенное среднее находится между наибольшим и наименьшим bi. Далее, мы предположили, что f ²(x) – непрерывная функция, хотя то же самое можно получить и при более скромных предположениях. Оценивая ошибку на [a, b], просуммируем ошибки по всем подпромежуткам и еще раз используем теорему о взвешенных средних: . В итоге оценка сверху (а именно такая оценка нас и интересует) для остаточного члена формулы прямоугольников имеет вид: .
Остаточные члены формул трапеций и парабол.
Без доказательства приведем оценки сверху остаточных членов формул трапеций и парабол: ; . Пример применения. Вычислить , с точностью до 10–6. С целью применения формулы Симпсона находим производные до четвертой включительно: .
Чтобы исследовать поведение y(4), найдем y(5): ; ; (при этом x2 » 0,96; x3 » 2,02). И можно построить эскиз графика функции y(4)(x):
В свете выше сказанного, целесообразно, вычисляемый интеграл представить как сумму трех интегралов: .
*) Для xÎ[1; 2] . На интеграл выделим 0,7 разрешенной ошибки, ибо здесь труднее всего достигнуть необходимой точности. Оценивая остаточный член формулы Симпсона, получаем: . Отсюда n ³ 8. При вычислении I2 по формуле Симпсона надо взять n = 8. *) Для xÎ[2; 3] . На интеграл выделим 0,2 разрешенной ошибки. Из условия , получим n ³ 6. При вычислении I3 по формуле Симпсона надо взять n = 6. *) Для xÎ[0; 1] . Это довольно большая величина, что делает применение формулы Симпсона нецелесообразным. Вместо этого воспользуемся разложением в ряд Маклорена: . В этом разложении, вследствие знакопеременности ряда имеем: . Интегрирование разложения на [0; 1] дает: , а ошибка оценивается следующим образом: . Т.е. . На интеграл осталось 0,1 допустимой ошибки и отсюда n ³ 9. При вычислении I1 с помощью разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена достаточно взять n = 9.
Следует подумать и о том, с какой точностью вычисляются значения подынтегральной функции в точках разбиения для формулы Симпсона. Казалось бы, что, коль скоро, таких точек разбиения много, а каждые 10 слагаемых это один знак точности, то подынтегральную функцию надо вычислять со значительно большей точностью. Однако это не так, ибо в формуле Симпсона есть и деление на n, и, по сути, в точках разбиения достаточно вычислить с точностью в два раза большей, нежели вычисляемый интеграл. РАЗДЕЛ 5. Ряды. Определения. Def: Конструкция вида называется рядом. – элементы (слагаемые) ряда.... – общий член ряда. Определим: ; ; ; . Величины называются частичными (частными) суммами ряда. Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм, т.е. существует и конечен . При этом называется суммой ряда. В противном случае ряд называется расходящимся. Таким образом, чтобы ответить на вопрос о сходимости ряда достаточно ответить на вопрос о сходимости последовательности и наоборот: если есть последовательность , то для ее сходимости достаточно исследовать сходимость ряда , для которого частичными суммами являются элементы последовательности .
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|