 |
|
Воспоминания о будущем.
РАЗДЕЛ 8. Функции многих переменных.
Пусть Vn – линейное пространство.
Def.: В множестве R введено скалярное произведение, если 
такое, что: 
; 
;
; 
.
Если в линейном пространстве Vn введено скалярное произведение, то пространство называется евклидовым пространством (в дальнейшем евклидово пространство, зачастую, будет обозначаться 
.
Def.: В множестве R введена норма, если 
, такое, что:
; 
; 
.
Линейное пространство Vn, в котором введена норма называется нормированным пространством.
Def. В множестве R введена метрика, если 
такое, что
; 
; 
.
Если в множестве R введена метрика, то R называется метрическим пространством.
Если в пространстве Vn введено скалярное произведение (Vn –евклидово пространство En), то в нем можно естественным образом ввести норму 
и метрику 
.
Говорят что, норма и метрика индуцируются скалярным произведением.
Пусть En – евклидово пространство с индуцированными нормой и метрикой, и 
– ортонормированный базис в En.
Тогда: 
.
Def: 
открытый шар.
замкнутый шар.
сфера
открытый параллелепипед
замкнутый параллелепипед.
Def: 
– ε - окрестность точки х0.
– проколотая ε - окрестности точки х0.
– прямоугольная окрестность точки х0.
проколотая прямоугольная ε - окрестность.
F°. Любая ε – окрестность точки содержится в некоторой прямоугольной окрестности той же точки и, наоборот, содержит в себе некоторую прямоугольную окрестность той же точки.
Факт этот свидетельствует о том что, топологии введенные с помощью прямоугольных и сферических окрестностей эквивалентны.
Аксиома полуотделимости: Из любых двух точек евклидового пространства каждая имеет окрестность, не содержащая другую точку.
Аксиома отделимости: Для любой пары точек евклидового пространства существуют их непересекающиеся окрестности.
Def: Точка Р(х1, ….,хn) называется внутренней точкой множества М, если 
.
Def: Точка Р называется граничной точкой множества М, если
.
Def: Точка Р называется предельной точкой множества М (или точкой сгущения), если
.
Def: Множество М называется открытым, если все его точки внутренние.
Def: Множество М называется ограниченным, если 
.
Def: Если 
, то говорят, что в множестве М задана кривая. Кривая L: 
называется непрерывной, если 
- непрерывные функции.
Def: Множество М называется связным, если любые его точки можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат множеству М.
Def: Множество М называется односвязным, если любой замкнутый контур в множестве М можно непрерывным движением стянуть в точку принадлежащую множеству М.
Пример: область определения функции 
– круг радиуса 2 с центром в начале координат – связна, а область определения функции 
– концентрические кольца (см. рис.) –не связна:
.
Def: Последовательность 
точек евклидового пространства называется сходящейся, к элементу пространства Р 
, если 
.
Тº.Для того, чтобы 
необходимо и достаточно, чтобы последовательности координат сходились к соответствующей координате т. Р.
Δ 1) Пусть 
, т.е.
Þ 
Þ 
.
2) Пусть последовательность , тогда 
, и значит 
Þ 
▲
Def: Последовательность 
точек евклидового пространства называется фундаментальной, если 
.
Тº. Для того, чтобы последовательность 
сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Δ. Доказательство основано на переходе к покоординатной сходимости и ссылке на то, что для числовых последовательностей этот факт доказан. ▲
Тº.(Больцано - Вейерштрасса) Из любой бесконечной ограниченной последовательности точек евклидового пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Δ Задана бесконечная, ограниченная последовательность 
, такая, что 
. Рассмотрим последовательность первых координат элементов
этой последовательности 
. Это бесконечная и ограниченная числовая последовательность и, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность 
. Тем самым, из последовательности выделена подпоследовательность 
, у которой последовательность первых координат сходится. Обозначим элементы этой последовательности вновь .
Далее рассмотрим последовательность вторых координат элементов этой последовательности 
, и проведем ту же процедуру. … Проделав эту процедуру m раз (m – размерность евклидового пространства), в конце концов, получим последовательность с покоординатной сходимостью. Следовательно, построенная последовательность сходится. ▲