 |
|
Производные высших порядков.
Определение производной более высокого порядка, чем первый, можно дать индуктивно. Обозначения для высших производных: 
.
Пример:
10. Найти частные производные первого и второго порядка функции 
.
Производные первого порядка: 
; 
; 
.
Производные второго порядка:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
Производные 
называются вторыми одноименными производными.
Обозначение 
обозначает, что от функции 
производная бралась вначале по 
, а затем по 
, а при нахождении 
наоборот, вначале по , а затем по .
Обратим внимание на совпадения соответствующих вторых смешанных производных:
.
Возникает вопрос: случайно ли это совпадение?
20. Рассмотрим функцию, заданную соотношениями:
и 
.
Функция непрерывна в (0,0) т.к. 
и, следовательно, 
.
а) 
Þ 
. б) 
Þ 
.
в) 
.
Если в 
положить х = 0, получим, 
Þ 
в (0,0).
г) 
.
Полагая y = 0, получим, 
Þ 
в (0,0).
Получили, что 
в точке (0,0). Смешанные производные в точке (0,0) не совпадают.
Итак, вторые смешанные производные не всегда совпадают. А когда?
Т°. Пусть 
определена в открытой области 
и в этой области, существуют 
, а также 
и, наконец, непрерывны в некоторой точке 
. Тогда: 
.
Δ. Рассмотрим 
.
а). Введем вспомогательную функцию 
. Эта функция дифференцируема: 
и, следовательно, непрерывна.
Учитывая это, получим:
= 
= 
=…
Дважды применим формулу конечных приращений:
…= 
= 
.
б) Введем 
. Тогда аналогично получаем, что
.
Устремим 
и воспользовавшись непрерывностью 
в точке получаем: 
. ▲
В общем случае:
Т0. Пусть 
определена в открытой области евклидового пространства Еn и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-1)го порядка включительно и смешанные производные nго порядка, причем все производные непрерывны в области . Тогда значение любой nй смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится дифференцирование. Δ▲.