Элементы теории поверхностей.
10. Пусть в области G Е3 задана функция F (x, y, z) = 0 и . Тогда выполняются условия теоремы о неявных функциях и говорят, что в области G неявно задана поверхность z = z(x,y). 20. Если нам удается разрешить уравнение F (x, y, z) = 0 относительно z, то получаем поверхность, заданную явно: z = z(x,y). 30. Если и , то говорят, что в задана гладкая поверхность S, а – называют носителем этой поверхности. При этом, если и такие, что , то поверхность называется поверхностью с самопересечениями, в противном случае – поверхность называется простой. Проведя в области D координатные линии мы, тем самым, индуцируем на поверхности S линии: и , которые называются координатными линиями поверхности. Векторы: и являются векторами, касательными к координатным линиям. Из соображений простоты штрих в дальнейшем не будем писать т.е. будем писать: , . Рассмотрев в точке векторы и , можно найти вектор перпендикулярный поверхности: , Если ввести обозначения , , , то единичный вектор нормали можно записать так: . Можно построить и еще один вектор нормали . Величины являются направляющими косинусами нормали и поверхности. В точке (x0, y0, z0) : – уравнение прямой, перпендикулярной к поверхности, а – уравнение плоскости касательной к поверхности . Def. Если на поверхности S существует непрерывный замкнутый контур γ такой, что при движении по этому контуру (с непрерывным изменением нормали) мы возвращаемся в исходную точку с нормалью имеющей противоположное исходному направлению, то поверхность называется односторонней. Пример: Лист Мебиуса. Def. Если для того , чтобы вернуться в исходную точку с направлением нормали, противоположным исходному, необходимо пересечь край поверхности, то поверхность называется двухсторонней. *). Краем поверхности называется образ границы D в представлении . Выбрав на двусторонней поверхности контур γ, зададим на нем ориентацию, указав направление его обхода. Теперь сориентируем поверхность выбрав на ней направление нормали так, чтобы , если смотреть с конца вектора , движение по контуру γ было против часовой стрелки. Ясно, что такая договоренность означает, что ориентация контура автоматически задает ориентацию (сторону) поверхности и наоборот. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|