Главная | Обратная связь

Деякі теореми про функції, що диференціюються

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 7

ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ З ДОПОМОГОЮ ПОХІДНИХ

 

Тема 7.1. Дослідження функцій за допомогою похідних.

7.1.1. Деякі теореми про диференційовані функції.

7.1.2. Правило Лопіталя.

7.1.3. Зростання і спадання функцій.

7.1.4. Максимум і мінімум функцій.

7.1.5. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.

7.1.6. Опуклість графіка функції. Точки перегину.

7.1.7. Асимптоти графіка функції.

7.1.8. Загальна схема дослідження функції і побудови графіка.

 

Тема 7.2. Формули Тейлора.

7.2.1. Формула Тейлора для многочленна.

7.2.3. Формула Тейлора для довільної функції.

 

Тема 7.3. Означення і представлення комплексних чисел.

7.3.1. Основні поняття.

7.3.2. Геометричне зображення комплексних чисел.

7.3.3. Формули запису комплексних чисел.

Тема 7.4. Дії над комплексними числами.

7.4.1. Додавання комплексних чисел.

7.4.2. Віднімання комплексних чисел.

7.4.3. Множення комплексних чисел.

7.4.4. Ділення комплексних чисел.

7.4.5. Добування кореня з комплексного числа.

 

ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОХІДНИХ

Деякі теореми про функції, що диференціюються

Розглянемо ряд теорем, що мають велике теоретичне і прикладне значення.

Теорема 7.1.1 (Ролль). Якщо функція неперервна на відрізку, що диференціюється на інтервалі і на кінцях відрізка приймає однакові значення, то знайдеться хоча б одна точка, в якій похідна звертається в нуль, тобто .

□Оскільки функція неперервна на відрізку, то не досягає на цьому відрізку найбільшого і найменшого значень, відповідно, М і т. Якщо М=т, то функція постійна на і, отже, її похідна в будь-якій точці відрізка .

 

 

 

Рис.140. Рис. 141. Рис.139

Якщо , то функція досягає хоча б одного із значень М абот у внутрішній точці з інтервалу, оскільки .

Нехай, наприклад, функція приймає значення М в точці, тобто . Тоді для всіх виконується співвідношення

Знайдемо похідну в точці х=с:

.

Через умову (7.1.1) вірно нерівність . Якщо (тобто праворуч від точки х=с), то

і тому .

Якщо то

і .

Таким чином .

У випадку, доказ аналогічний.■

 

Геометрична теорема Ролля означає, що на графіку функції знайдеться точка, в якій дотична до графіка паралель осі Ох (див. Рис. 139 і 140). На малюнку 141 таких крапок дві.

Теорема 7.1.2 (Коші). Якщо функції і безперервні на відрізку, що диференціюється на інтервалі, причому для, то знайдеться хоча б одна точка така, що виконується рівність

Відзначимо що , оскільки в осоружному випадку по теоремі Ролля знайшлася б точка с, така, що , чого не може бути по умові теореми. розглянемо допоміжну функцію

.

Вона задовольняє все умовам теореми Ролля: неперервна на відрізку і що диференціюється на інтервалі , оскільки є лінійною комбінацією функцій і ; на кінцях відрізка вона приймає однакові значення .

На підставі теореми Ролля знайдеться точка така що . Але , отже

.

Звідси слідує

і .

Теорема 7.1.3 (Лагранж). Якщо функції безперервні на відрізку, то знайдеться хоча б одна точка така, що виконується рівність

.

 

□ Теорему Лагранжа можна розглядати як окремий випадок теореми Коші. Дійсно, поклавши , знаходимо .

Підставляючи ці значення у формулу , одержуємо або .

Отриману формулу називають формулою Лагранжа абоформулою про кінцевий приріст: приріст функції, що диференціюється, на відрізку

Рис. 142

 

рівно приросту аргументу, помноженому на значення похідної функції в деякій внутрішній точці цього відрізка.

Теорема Лагранжа має простий геометричний сенс. Запишемо формулу (7.1.2) у вигляді , де . Відношення є кутовий коефіцієнт січної АВ , а величина – кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точці з абсцисою х=с.

Отже, геометричне значення теореми Лагранжа таке: на графіку функції знайдеться точка (див. Рис. 142), в якій дотична до графіка функції паралельна січній АВ.■

Наслідок 7.1.1 Якщо похідна функції рівна нулю на деякому проміжку, то функція постійна на цьому проміжку.

□ Нехай для . Візьмемо довільні х1 і х2 з і нехай . Тоді по теоремі Лагранжа така, що . Але по умові , отже, де . Тому маємо , тобто . А оскільки х1 і х2 - довільні точки з інтервалу , то маємо .■

Наслідок 7.1.2. Якщо дві функції мають рівні похідні на деякому проміжку, то вони відрізняються один від одного на постійну сталу.

□ Нехай при . Тоді . Отже, згідно слідству 25.1, функція є постійна, тобто для ■

 

Приклад 7.1.1. Довести, що, де .

○ Нехай . Тоді маємо . Звідси витікає, що , тобто . Поклавши х=0, знаходимо , тобто .

Тому . Ця рівність виконується і при

Аналогічно доводиться, що .

Формулі Лагранжа можна надати інший вигляд. Застосувавши теорему Лагранжа до відрізка , матимемо

.

Кожне число можна записати у вигляді, де Формула (25.3) прийме вигляд

,

Виконуючи теорему Лагранжа, можна оцінити точність наближеної рівності . Зробимо це, вважаючи, що функція має не парну другу похідну :

,

де (Рис. 143).

Отже . Нехай . Оскільки , а , то одержуємо оцінку .●

 

 

Рис. 143.

 

Правила Лопіталя

Розглянемо спосіб розкриття невизначеностей вигляду і, який заснований на застосуванні похідних.

Теорема 7.1.4. (правило Лопіталя розкриття невизначеностей вигляду ). Нехай функція і неперервна і диференційована в околі і обертаються в нуль в цій точці: . Нехай в околі точки . Якщо існує границя , то .

□ Застосуємо до функцій і теорему Коші для відрізка , що лежить в околі точки х_о . Тоді , де с лежить між х_о і х (Рис.144). Враховуючи, що , одержуємо

При, величина з також прагне до ; перейдемо в рівності (25.4) до границі:

.

Рис. 144.

 

Оскільки , то . Тому .

Коротко отриману формулу читають так: межа відношення двох нескінченно малих рівна границі відношення їх похідних, якщо останній існує.■

Зауваження: 1. Теорема 7.1.4 вірна і у разі, коли функції і не визначені при, але і . Достатньо, поклавши, отримаємо

.

3. Якщо похідні і , теорему 7.1.4 можна застосувати ще раз:

і т.д.

 

Приклад 7.1.2. Знайти .

 

○ .●

Приклад 7.1.3. Знайти .

 

○ .●

 

Теорема 7.1.4 дає можливість розкривати невизначеність вигляду . Сформулюємо без доказу теорему про розкриття невизначеність вигляду .

Теорема 7.1.5 (Правило Лопіталя розкриття невизначеностей вигляду ). Нехай функції і неперервні і диференційовані в точці х_о (окрім, може, бути, точки х_о ), і в цьому околі , . Якщо існує границя то .

Приклад 7.1.4. Знайти .

○

2-й спосіб:

●