 |
|
Геометричне зображення комплексних чисел
Всяке комплексне число 
можна зобразити точкою 
площини Оху такої, що х=Re z, y=Im z. І, навпаки, кожну точку координатної площини можна розглядати як образ комплексного числа (див. рис. 161).
Площина, на якій зображаються комплексні числа, називається комплексною площиною. Вісь абсцис називається дійсною віссю, оскільки на ній лежать дійсні числа 
. Вісь ординат називається уявною віссю, на ній лежать чисто уявні комплексні числа.
Комплексне число можна задавати за допомогою радіус-вектора 
. Довжина вектора 
, що зображає комплексне число z , називається модулем цього числа і позначається 
або r . Величина кута між позитивним напрямом дійсної осі і вектором 
, що зображає комплексне число, називається аргументом цього комплексного числа, позначається Arg z або 
Аргумент комплексного числа 
не визначений. Аргумент комплексного числа 
- величина багатозначна і визначається з точністю до доданку 2πk (k=0, ‑1, 1, -2, 2…): Arg z=arg z+2 πk, де arg z — головне значення аргументу, знаходиться в проміжку (-π; π], тобто – π<arg z ≤ π (іноді як головне значення аргументу беруть величину, що належить проміжку [0;2π)).
7.3.3. 
Форми запису комплексних чисел
Запис числа 
у вигляді z=x+iy називають алгебраїчною формою комплексного числа.
Модуль 
і аргумент φ комплексного числа можна розглядати як полярні координати вектора 
, що зображає комплексне число z=x+iy (див. рис. 162). Тоді одержуємо x=rcosφ, y=rsinφ . Отже, комплексне число можна записати у вигляді z= rcosφ+ir sinφ або
Такий запис комплексного числа називається тригонометричною формою.
Модуль 
однозначно визначається по формулі
Наприклад, 
. Аргумент φ визначається з формул
Оскільки
то
Тому при переході від форми алгебри комплексного числа до тригонометричної достатньо визначити лише головне значення аргументу комплексного числа z, тобто прочитати 
Оскільки π<arg z ≤ π , то з формули 
одержуємо, що
Якщо точка 
лежить на дійсній або уявній осі, arg z то можна знайти безпосередньо (див. рис. 163). Наприклад, arg z1=0 для z1=2 arg z2=π для z2=-3; arg z3= 
; для і для 
Використовуючиформулу Ейлера:
комплексне число 
можна записати в так званій показниковій (або експоненційній) формі z=r 
де 
- модуль комплексного числа, а кут 
Arg z= arg z+2kπ (k=0,-1,1,-2,2…).
Через формулу Ейлера, функція 
періодична з основним періодом 2π . Для запису комплексного числа z в показовій формі, достатньо знайти головне значення аргументу комплексного числа, тобто прочитати φ=arg z .
Приклад 7.3.1Записати комплексні числа 
і x2=-1 в тригонометричній і показовій формах.
○ Для 
маємо
тобто 
Тому
Для 
маємо
тобто 
Тому 
●