 |
|
Загальна схема дослідження функції і побудови графіка
Дослідження функції доцільно вести з певної послідовності.
1. Знайти область визначення функції.
2. Знайти (якщо це можна) точки перетину графіка з осями координат.
3. Знайти інтервали знакосталості функції (проміжки, на яких або ).
4. З'ясувати, чи є функція парної, непарної або загального вигляду .
5. Знайти асимптоти графіка функції.
6. Знайти інтервали монотонності функції.
7. Знайти екстремуми функції.
8. Знайти інтервали опуклості і точки перегину графіка функції.
На підставі проведеного дослідження побудувати графік функції. Помітимо, що приведена схема дослідження не є обов'язковою. В більш простих випадках достатньо виконати лише декілька операцій, наприклад 1,2,7. Якщо ж графік функції зовсім не зрозумілий і після виконанні всіх восьми операцій, то можна додатково досліджувати функції на періодичність, побудувати додатково декілька точок графіка, виявити інші особливості функції. Іноді доцільно виконання операцій дослідження супроводжувати поступовою побудовою графіка функції.
Приклад 7.1.14. Досліджувати функцію 
і побудувати її графік.
○ Виконаємо всі вісім операцій запропонованої вище схеми дослідження.
1. Функція не визначена при 
і . Область її визначення складається з трьох інтервалів 
, а графік з трьох гілок.
2. Якщо 
, то 
. Графік перетинає вісь Оу в точці ; якщо 
то . Графік перетинає вісь Ох в точці .
3. Функція знакопозитивна 
в інтервалах 
і ; знаконегативна – 
.
4. Функція є не парною, оскільки
.
Отже, графік її симетричний щодо початку координат. Для побудови графіка достатньо досліджувати її при .
5. Прямі і є її вертикальними асимптотами. З'ясуємо наявність похилої асимптоти:
_ 
( 
при і при )
Отже, є горизонтальна асимптота, її рівняння . Пряма є асимптотою і при і при .
6. знаходимо інтервали зростання і убування функції. Оскільки
.
то 
в області визначення, і функція є зростаючої на кожному інтервалі області визначення.
7. досліджуємо функцію на екстремум. Оскільки, то критичними точками є точки 
і 
(не існує), але вони не належать області визначення функції. Функція екстремумом не має .
8. Досліджуємо функцію на опуклість. Знаходимо 
:
Рис. 159.
Друга похідна рівна нулю або не існує в точках 
. На малюнку 159 представлена схема зміни знаків другої похідної досліджуваної функції.
Точка – точка перегину графіків функції.
Графік опуклий вгору на інтервалах і Рис. 160
опуклий вниз на інтервалах 
і 
.
Графік функції зображений на малюнку 160.●
.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
У визначенні функції не мовиться про те, за допомогою яких засобів знаходяться значення 
по значеннях . В тих випадках, коли функція є формулою вигляду 
, значення функції знайти легко за допомогою чотирьох арифметичних дій. Але як знайти значення, наприклад, функцій 
, при будь-яких (допустимих) значеннях аргументу?
Для того, щоб обчислити значення даної функції, її замінюють многочленом ступеня, значення якого завжди і легко обчислювані. Обґрунтовування можливості представляти функцію многочленом дає формула Тейлора.