Главная | Обратная связь

Аналитический способ сложения сил

Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси ( рис. 11).

F_x = Fcosa , Q_x = Qcosa₁ = – Qcosj , P_x = 0. (4)

 

 

Рис. 11

 

Проекцией силы на плоскость Oxy называется вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис. 12).

 

Рис. 12

 

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее найти сначала ее проекцию на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на данную ось (рис. 12):

F_x = F_xycosj = Fcosqcosj , F_y = F_xysinj = Fcosqsinj . (5)

Силу можно построить, если известны модуль F этой силы, углы a, b, g, которые сила образует с координатными осями и координаты x, y, z точки приложения.

Для решения задач механики удобнее задавать силу ее проекциями F_x = X , F_y = Y , F_z = Z на координатные оси. Зная проекции, можно определить модуль силы и углы, которые она образует с координатными осями по формулам

,

cosa = X / F , cosb = Y / F , cosg = Z / F . (6)

Если есть главный вектор системы сил , , , …, , т.е. , то проекциями вектора на оси координат будут:

, ,

Зная R_x, R_y, R_z, по формулам (6) находим модуль главного вектора и его направляющие косинусы:

,

cosa = R_x / R , cosb = R_y / R , cosg = R_z / R . (7)

Формулы (7) позволяют решить задачу о сложении сил аналитически.

Для сил, расположенных в одной плоскости, соответствующие формулы принимают вид:

, ,

, cosa = R_x / R , cosb = R_y / R . (8)

Если силы заданы их модулями и углами с осями, то для применения аналитического метода сложения надо предварительно вычислить проекции этих сил на координатные оси.

Задача 1. Найти сумму трех лежащих в одной плоскости сил (рис. 13, а ), если дано: F = 17,32 Н, T = 10 Н, P = 24 , j = 30⁰, y = 60⁰.

Решение

Вычисляем проекции заданных сил на координатные оси:

F_x = Fcosj = 17,32·0,866 = 15 Н, T_x = – Tcosy = – 10·0,5 = – 5 Н, P_x = 0,

F_y = – Fsinj = 17,32·0,5 = – 8,66 Н, T_y = – Tsiny = 10·0,866 = 8,66 Н,

P_y = – P = –24 Н.

Тогда по формулам (8)

R_x = 15 – 5 = 10 Н , R_y = – 8,66 + 8,66 – 24 = – 24 Н .

Следовательно

Н ; cosa = 5 / 13 , cosb = – 12 / 13 .

Окончательно R = 26 Н, a = 67⁰20^/, b = 157⁰20^/.

Для решения задачи геометрическим методом выберем соответствующий масштаб (например, в 1см – 10 Н) и построим из сил , , , силовой многоугольник (рис. 13, б). Его замыкающая ad определяет в данном масштабе модуль и направление . Если, например, при измерении получим ad ≈ 2,5 см, то R ≈ 25 Н с погрешностью по отношению к точному решению около 4 %.

 

Рис. 13