Главная | Обратная связь

ЛЕКЦИЯ 5. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ. РАСЧЕТ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ПО СЛОЖНЫМ ПРОЦЕНТНЫМ СТАВКАМ.

Формула наращения. В средне- и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, применяют сложные проценты (compoundinterest). База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоян­ной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсо­лютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последователь­ное реинвестирование средств, вложенных под простые про­центы на один период начисления (runningperiod). Присоедине­ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Для расчета наращенной суммы при усло­вии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году(годовые проценты), применяется сложная ставка наращения. Применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про­центам.

В конце первого года проценты равны вели­чине Pi, а наращенная сумма составит Р + Pi = Р(1 + i). К кон­цу второго года она достигнет величины Р(1 + i) + Р(1 + i)i = Р(1 +i)² и т.д. В конце n-го года наращенная сумма будет равна

S = Р(1 + i)ⁿ . (1)

Проценты за этот же срок в целом таковы: I= S –Р= Р[(1 + i)ⁿ – 1].

Часть из них получена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет

I_р = Р[(1 + i)ⁿ– (1 + ni)]. (2)

Величину (1 + i)ⁿ называют множителем наращения (com­poundinterestfactor) по сложным процентам. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней тиынки, тенге и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет­ся как ACT/ ACT.

ПРИМЕР 5.1.Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. тг., через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых? По формуле (1) находим

S = 1 000 000(1 + 0,155)⁵ = 2055464,22 тг.

Величина множителя наращения зависит от двух параметров –i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке. Здесь уместна следующая иллюстрация. Остров Манхэттен, на котором расположена центральная часть Нью-Йорка, был куплен (а точнее выменян) за 24 долл. Стоимость земли этого острова 350 лет спустя оценивалась примерно в 40 млрд. долл., т.е. первоначальная сумма увеличилась в 1,667 ´ 10⁹ раз! Такой рост достигается при сложной ставке, равной всего 6,3 % годовых.

Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы­ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окон­чания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед­нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз­никает задача распределения начисленных процентов по пери­одам.

Общий срок ссуды делится на два периода n₁ и п₂. Соответственно, I=I₁+I₂,

I₁ = Р[(1 + i)ⁿ¹ – 1]; I₂ = Р(1+i)ⁿ¹[(1+i)ⁿ²– 1] = Р[(1 +i)ⁿ– (1 + i) ⁿ¹].

ПРИМЕР 5.2. Ссуда была выдана на два года – с 1 мая 2006 г. по 1 мая 2008 г. Размер ссуды 10 млн. тг. Необходимо распре­делить начисленные проценты (ставка 14% ACT/ACT) по кален­дарным годам. Получим следующие суммы процентов (в тыс.тг.):

за период с 1 мая до конца 2006 года (244 дня): 10 000(1,14^244/365–1) = 915,4;

за 2007г.: 10 000 ´ 1,14^244/365´ 0,14 = 1528,2;

наконец, с 1 января до 1 мая 2008 г. (121 день):

10 000 ´ 1,14^{(365+244)/365}´ (1,14¹²¹– 1) = 552,4.

Итого за весь срок – 2996 тыс.тг.. Та­кой же результат получим для всего срока в целом: 10 000 ´ (1,14² –1) =2996.

Переменные ставки. Формула (1) предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Не­устойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модерни­зировать "классическую" схему, например, с помощью приме­нения плавающих ставок (floatingrate). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело – расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда изменения размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.

где – последовательные значения ставок; п₁, п₂,..., п_k – периоды, в течение которых "работают" соответствующие ставки.

ПРИМЕР 5.3.Срок ссуды – 5 лет, договорная базовая процент­ная ставка – 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся годы. Множитель наращения в этом случае составит

q = (1 + 0,125)² (1+ 0,1275)³ = 1,81407.