Главная | Обратная связь

Непрерывное наращение и дисконтирование. Непрерывные проценты

В практических финансово-кредитных операциях непрерыв­ное наращение, т.е. наращение за бесконечно малые отрезки времени, применяется крайне редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в анализе сложных финансовых проблем, например при обосновании и выборе инвестиционных решений, в финансовом проектировании. С помощью непрерывных процентов удается учесть сложные зако­номерности процесса наращения, например, использовать изменяющиеся по определенному закону процентные ставки.

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки – силу роста (forceofinterest). Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы забесконечно малый промежуток времени. Она может быть постоянной или изменяться во времени.

Постоянная сила роста. Как было показано выше, при дискретном начислении процентов раз в году по номинальной ставке j наращенная сумма находится как

Чем больше m, тем меньше промежуток между моментами начисления процентов. В пределе при m®¥ имеем

где е– основание натуральных логарифмов.

Для того чтобы отличить непрерывную ставку от дискрет­ной, обозначим силу роста как d. Теперь можно записать

S = Ре^dn. (9)

Итак, при непрерывном наращении процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и силы роста. Последняя представляет собой номинальную ставку сложных процентов при m®¥. Легко показать, что дискретные и непрерывные ставки нара­щения находятся в функциональной зависимости. Из равенст­ва множителей наращения

(1 + i)ⁿ = e^dn следует d = ln(l +i), (10)

или i=e^d – 1.

ПРИМЕР 7.11. Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты, равна 2 млн. тг., сила роста 10%, срок 5 лет. Нара­щенная сумма составит

S = 2 000 000 × е^0.1х5 = 3297744,25тг.

Непрерывное наращение по ставке = 10% равнозначно нара­щению за тот же срок дискретных сложных процентов по годовой ставке. Находим

i=е^0.1– 1 =0,10517. В итоге получим

S = 2 000 000(1 + 0.10517)⁵= 3297744,25 тг.

Дисконтный множитель на основе силы роста (математиче­ское дисконтирование) находится элементарно, для этого ре­шим (7.22) относительно Р: P=Se^–dп. (7.24)

Дисконтный множитель, как видим, равен e^–dп.